Encuentra este límite sin usar la regla de L'Hospital

Question

Tengo que encontrar este límite sin usar la regla de l'Hôspital:

$$\lim_{x\to 0} \frac{\alpha \sin \beta x - \beta \sin \alpha x}{x^2 \sin \alpha x}$$

Usando la regla de L'Hôspital da:

$$\frac{\beta}{6(\alpha^2 - \beta^2)}$$ No sé por dónde empezar sin usar la regla.

Answer 1

Utilizando la serie de Taylor

$$\sin t = t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \dots$$

el numerador es

\begin{align*} \alpha \left(\beta x - \frac{(\beta x)^3}{3!} + O(x^5)\right) - \beta \left(\alpha x - \frac{(\alpha x)^3}{3!} + O(x^5)\right) = \frac{\beta \alpha^3 - \alpha \beta^3}{6} x^3 + O(x^5) \end{align*}

Entonces la fracción se puede escribir como

\begin{align*} \frac{\dfrac{\beta \alpha^3 - \alpha \beta^3}{6} x^3 + O(x^5)}{\alpha x^3 + O(x^5)} \to \frac{\beta \alpha^3 - \alpha \beta^3}{6\alpha} \end{align*}

como $x \to 0$ .

Answer 2

Creo que te has equivocado en alguna parte al aplicar la regla de L'Hospital y llegar a $$\frac{\beta}{6(\alpha^2 - \beta^2)}$$ como se informa en su puesto.

Para deshacerse de los problemas con $x$ en el denominador, hay que aplicar la regla de L'Hospital tres veces y llegar a $$\frac{\beta \alpha^3 - \alpha \beta^3}{6\alpha}$$ que, afortunadamente (¡!), coincide con lo obtenido por T. Bongers utilizando series de Taylor.