Anillo de enteros para $\mathbb{Q}(\sqrt{23},\sqrt{3})$

Question

¿Cuál es el anillo de enteros para $\mathbb{Q}(\sqrt{23},\sqrt{3})$ ?

Por lo tanto, se trata de números de la forma $a+b\sqrt{3}+c\sqrt{23}+d\sqrt{69}$ donde $a,b,c,d\in\mathbb{Q}$ y queremos encontrar aquellos cuyo polinomio mínimo sea mónico. Pero no estoy seguro de cómo encontrar el polinomio mínimo para un número de esta forma. ¿Existe algún teorema/método que ayude?

Answer 1

Hay un teorema estándar-clásico útil sobre los anillos de enteros en un compositum de dos extensiones de campo linealmente disjuntas, cuando los "diferentes" son relativamente primos, y el anillo base de enteros es un PID, el anillo de enteros es el producto tensorial (que, por la disjunción lineal, naturalmente inyecta al compositum).

Esto debe aparecer en muchos lugares, pero/y está fácilmente disponible en línea en mis notas http://www.math.umn.edu/~garrett/m/number_theory/Notes_2011-12.pdf en la página 101 y siguientes, ilustrado a partir de la página 103 sobre los campos ciclotómicos.

Tal vez valga la pena señalar que el enfoque "natural", pero ingenuo, de buscar la mica satisfecha por una combinación lineal de los números algebraicos obvios y "resolver" las condiciones de integralidad no es viable. Para las extensiones cuadráticas, está bien, obviamente, y se conoce clásicamente. Para la mayoría de los otros escenarios, incluso si/cuando es posible hacer la cosa más o menos directamente (como hizo Adrian Albert en algunos trabajos de los años 40 más o menos), no es esclarecedor, ni persuasivo. Es decir, hemos aprendido que la mejor forma de responder a este tipo de preguntas es a partir de "las definiciones".

Answer 2

Existen algoritmos generales para calcular la base integral de cualquier campo numérico. Por ejemplo, véase aquí .

Dicho esto, es un ejercicio en la mayoría de los cursos estándar de teoría de números encontrar bases integrales para cualquier extensión biquadrática. Hay un ejercicio (con pistas) en el libro de Marcus Campos numéricos que discute esto (es el ejercicio 42 en la página 51) - deberías hacerlo.

Te dice, en su notación, que si dejamos $m=69$ , $k=23$ y $n=3$ , entonces su campo tiene una base integral

$$\left\{1,\frac{1+\sqrt{69}}{2},\sqrt{3},\frac{\sqrt{23}+\sqrt{3}}{2}\right\}$$

También, SAGE es tu amigo. Tiene la capacidad de calcular la base integral de cualquier campo numérico. Por ejemplo, escupe lo siguiente:

K.<a,b> = NumberField([x^2-23,x^22-3]);
K.integral_basis()
[1, 5/2*a - 11/2*b, -1/2*b*a + 13/2, 4*a - 9*b]