¿Derivada de una integral? $f(y) = \frac{d}{dy} F(y) = \color{red}{\frac{1}{\sqrt{y}}}\Phi'(\sqrt{y})$

Question

¿Estoy en lo cierto al decir que si diferencio una integral, recupero lo que hay dentro de la integral?

$$\frac{d}{dx} \int f(x) \, dx = f(x)$$

Entonces por qué está en la pregunta de abajo,

La última línea marcada por la flecha ...

$$\frac{d}{dy} F(y) = \frac{d}{dy} (2 \Phi(\sqrt{y})-1) = \frac{d}{dy} (2(\int^{\sqrt{y}}_{-\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-u^2/2} \; du)) = 2 \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2}$$

¿Cómo puedo obtener el extra $\frac{1}{\sqrt{y}}$ ¿parte?

Answer 1

$F(y)=2\Phi (\sqrt y)$ . Por la regla de la cadena, se obtiene: $$f(y)=F'(y)=2\cdot \Phi '(\sqrt y) \cdot \frac{d}{dy}[\sqrt y]=\frac{\Phi'(\sqrt y)}{\sqrt y}.$$

El problema con tu prueba es que, cuando tomas la derivada de una función de la forma $$H(x)=\int _a ^{f(x)} g,$$ está considerando una composición: $$h(t)=\int _a ^t g , \quad H(x)=(h\circ f)(x),$$ por lo que la derivada de $H$ es:

$$H'(x)=(h'\circ f) (x) \cdot f'(x)=g(f(x))f'(x).$$