¿Cómo se calcula una derivada exterior compleja?

Question

El contexto es la derivación de las ecuaciones de cauchy riemann utilizando el teorema de green/stoke. La función es la función compleja $f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$ con una forma asociada $u(x,y)dx+iv(x,y)dy$ .

Aquí está mi trabajo hasta ahora:

$$d(u(x,y)dx+iv(x,y)dy)=(\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}dx +\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}dy)\wedge dx+i(\frac{\partial v(x,y)}{\partial x}dx +\frac{\partial v(x,y)}{\partial y}dy)\wedge dy=(-\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}+ i\frac{\partial v(x,y)}{\partial x})dx\wedge dy$$

¿Es esto correcto? ¿Debería haber un $i$ coeficiente en el diferencial $dy$ ya que está en la dirección puramente imaginaria?

No he podido encontrar muchos recursos sobre la diferenciación exterior compleja, así que se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

El operador de la derivada exterior $d$ es real (es decir, de valor real en formas de valor real) y complejo-lineal (es decir, si $\alpha$ et $\beta$ son reales $p$ -forma, entonces $d(\alpha + i\beta) = d\alpha + i\, d\beta$ Así que sí, tu cálculo es correcto.

Para deducir las ecuaciones de Cauchy-Riemann a partir del teorema de Green, es conveniente diferenciar la holomorfa $1$ -forma $$ f(z)\, dz = (u + iv)(dx + i\, dy). $$