Una secuencia $ (x_{n})$ es convergente en $X$ $\iff$ $ (x_{n})$ es una secuencia estacionaria. ¿Tiene $X$ ¿tienen que ser discretos?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico tal que una secuencia $ (x_{n})$ es convergente en $X$ $\iff$ $ (x_{n})$ es una secuencia estacionaria. ¿Tiene $X$ ¿tienen que ser discretos?

La topología $ T = \left\{ X \subset \mathbb{R} | card (X^{c}) \leq \aleph_{0} \right\} $ ¿trabajo?

Answer 1

Sí, esta topología funciona. Dejemos que $x_n \to x$ . Si no es cierto que $x_n=x$ para todos $n$ suficientemente grande entonces existen enteros $n_1<n_2<..$ tal que $x_{n_i} \neq x$ para todos $i$ . Considere el conjunto $U=\mathbb R \setminus \{x_{n_i}: i\geq 1\}$ . Se trata de un conjunto abierto que contiene $x$ . Desde $x_n \to x$ debe ser cierto que $x_n \in U$ para todos para todos $n$ suficientemente grande. Esto contradice el hecho de que $x_{n_i} \notin U$ para cualquier $i$ .

Answer 2

Sí, la topología que has definido (la topología co-contable) tiene la propiedad de que todas las secuencias convergentes son finalmente constantes:

Supongamos que $(x_n)_n$ converge a $p \in X$ en la topología co-contable. Definir $C=\{x_n: x_n \neq p\}$ que es un subconjunto a lo sumo contable de $X$ Así que $O:=X\setminus C$ es abierto en la topología co-conducible, y como $p \notin C$ por definición, $p \in O$ .

Por la definición de convergencia, debe haber algún índice $N \in \mathbb{N}$ tal que $$\forall n \ge N: x_n \in O$$

Pero está claro que $x_n \in O$ si $x_n \notin C$ si $x_n = p$ para que $$\forall n \ge N: x_n =p$$ que dice que $(x_n)_n$ es finalmente constante con valor $p$ .

Y si $X$ es un conjunto incontable, entonces la topología co-contable es una topología no discreta sobre $X$ que, sin embargo, obedece a la propiedad de que todas las secuencias convergentes acaban siendo constantemente su límite.