Calcular la probabilidad de que dos mínimos sean iguales

Question

Dejemos que $X, Y, Z$ sean v.r. exponenciales con parámetros $\lambda$ , $\mu$ y $\gamma$ .

¿Cómo puedo calcular $P(\min(X, Y) = \min(Y, Z))$ ? Intenté pensar en un caso de trabajo, pero se me hizo muy complicado. Me pregunto si hay una buena manera. Gracias

También encontré $\min(X, Y) \sim \exp(\lambda + \mu)$ y $\min(Y, Z) \sim \exp(\mu + \gamma)$

Answer 1

Desde $X\neq Z$ , $Y\neq X$ etc. con probabilidad 1, para tener $$\min(X,Y)=\min(Y,Z)$$ necesitamos $Y\le X$ y $Y\le Z$ . La probabilidad de que $Y$ es el más pequeño es igual a $$\frac{\mu}{\mu+\lambda+\gamma},$$ que es nuestra respuesta (este es un hecho comúnmente utilizado para los exponenciales).

También se puede derivar la probabilidad de que $Y$ es el más pequeño por $$P(X\ge Y, Z\ge Y) = \mathbb{E}_Y[P(X\ge Y, Z\ge Y|Y)] = \mathbb{E}_Y[P(X\ge Y|Y)P(Z\ge Y|Y)] = \mathbb{E}[e^{-(\lambda+\gamma)Y}]$$ La última expectativa es simplemente la función generadora de momentos de $Y$ evaluado en $-(\lambda+\gamma)$ .