Un cuadrilátero y la circularidad de los vértices

Question

Así que tenemos un cuadrilátero convexo ABCD, que satisface estas condiciones: $m(\widehat{DAC})=m(\widehat{BDC})=36°$ y $m(\widehat{BAC})=72°$ .

Si $P=AC\cap BD, \,m(\widehat{APD})=\,?$

Hice un boceto rápido:

Observando los ángulos podemos ver que $2m(\widehat{BDC})=m(\widehat{BAC})$ y $2m(\widehat{DBC})=m(\widehat{CAD})$ que satisfacen perfectamente las condiciones de un círculo, cuyo centro es $A$ y los radios son $AB, \,AC$ y $AD$ . Pero también requiere que sean iguales.

Mi pregunta es, ¿tienen que ser iguales? Si no es así, ¿cómo puedo resolver este problema?

Answer 1

Tus ideas sobre los círculos son muy buenas. Aquí hay una manera de pensar en el diagrama ...

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Comenzar con el segmento $\overline{CD}$ . Punto $B$ se encuentra en algún lugar del arco de un círculo con centro, digamos, $K$ tal que $m\angle CKD = 36^\circ$ . (Hay dos círculos de este tipo. Elige uno.) Llamaré al arco del círculo en el que $B$ se encuentra el " arco de inscripción para $18^\circ$ ". Claramente, sólo hay una posición para $B$ tal que $m\angle BDC = 36^\circ$ .

Punto $A$ está en el "arco de inscripción para $36^\circ$ " en el segmento $\overline{CD}$ pero también está en el "arco de inscripción para $72^\circ$ " en el segmento $\overline{BC}$ su posición está determinada de forma única como el (no $C$ ) punto de intersección de los dos arcos. (Obsérvese que aquí no hay opción en los arcos, ya que sus centros deben estar en los lados apropiados de los segmentos $\overline{CD}$ y $\overline{BC}$ .)

Por lo tanto, dado $\overline{CD}$ La configuración es (aparte de la elección de ese primer círculo) única. Como ha señalado, la configuración en la que $A$ es el centro de un círculo que contiene $B$ , $C$ , $D$ se ajusta a la información dada; en consecuencia, su configuración es el por lo que se puede asumir con seguridad que $\overline{AB}\cong\overline{AC}\cong\overline{AD}$ para resolver el problema.

Answer 2

Dejar $O$ ser el circuncentro de $\triangle BCD$ y luego $\angle BOC=72^{\circ}$ , $\angle COD=36^{\circ}$
así, $\square BCOA$ y $\square CDAO$ son cíclicos, donde sus circunferencias son $(O_{1})$ , $(O_{2})$ respectivamente.
es decir, dos círculos se encuentran en tres puntos $A$ , $C$ , $O$ , lo cual es una contradicción.
por lo tanto, $A$ debe ser idéntica a $O$ .