Sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden

Question

Si tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden $$\begin{cases} F''(x)=(F(x))^3+F(x)(G(x))^2\\ G''(x)=2G(x)(F(x))^2 \end{cases}$$ y satisface las condiciones de contorno $$F(0)=G'(0)=1,\qquad F'(0)=G(0)=0.$$ Encuentre $F\left(\frac{\pi}{3}\right)$ .

Parece que $F=G$ tenemos $$ F''=2F^3\Rightarrow F'F''=2F'F^3\Rightarrow \frac{1}{2}\left( F' \right) ^2=\frac{1}{2}F^4+\frac{1}{2}C_1, $$ es decir $F'=\pm \sqrt{F^4+C_1}$ Así que $$ \int_0^x{\frac{1}{\sqrt{F^4+C_1}}dt}=\pm x+C_2. $$ Pero creo que puede tener algunos problemas con las condiciones de contorno.

Editar: De hecho, $F(x)=1/\cos x,G(x)=\tan x$ Pero, ¿cómo podemos demostrarlo?

Answer 1

Utilizando el python scipy integradores con el script

from scipy.integrate import odeint
def odefunc(y,t):
    F,dF,G,dG = y;
    return [ dF, F**3+F*G**2, dG, 2*G*F**2 ]
y0 = [1., 0., 0., 1.]
sol = odeint(odefunc, y0, [0,np.pi/3],atol=1e-14, rtol=1e-13,mxstep=10000)
print "%.14f"%sol[-1,0]

da el valor $F(\pi/3)$ como

2.00000000000097

Otros programas informáticos con integradores numéricos deberían funcionar de forma similar.

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O modificar a

x = np.linspace(0,1,11)*np.pi/3
sol = odeint(ode, y0, x,atol=1e-14, rtol=1e-13,mxstep=10000)
def E(y): 
    F,dF,G,dG = y; 
    return dF**2 + 0.5*dG**2 - 0.5*F**4 - (F*G)**2
for xx,y in zip(x,sol): 
    print "x=%.2f*pi/3, F(x)=%.14f, E(x)=%.14f"%(xx*3/np.pi, y[0], E(y))

para obtener el resultado

x=0.00*pi/3, F(x)=1.00000000000000, E(x)=0.00000000000000
x=0.10*pi/3, F(x)=1.00550827956352, E(x)=0.00000000000001
x=0.20*pi/3, F(x)=1.02234059486504, E(x)=0.00000000000002
x=0.30*pi/3, F(x)=1.05146222423829, E(x)=0.00000000000003
x=0.40*pi/3, F(x)=1.09463627850608, E(x)=0.00000000000005
x=0.50*pi/3, F(x)=1.15470053837930, E(x)=0.00000000000013
x=0.60*pi/3, F(x)=1.23606797749988, E(x)=0.00000000000047
x=0.70*pi/3, F(x)=1.34563272960657, E(x)=0.00000000000225
x=0.80*pi/3, F(x)=1.49447654986494, E(x)=0.00000000000307
x=0.90*pi/3, F(x)=1.70130161670461, E(x)=0.00000000000392
x=1.00*pi/3, F(x)=2.00000000000092, E(x)=0.00000000001329

donde la función de energía como cantidad teóricamente conservada indica el nivel de error del resultado numérico.