Índice de un grupo finito

Question

Demostrar que si G es un grupo finito, el índice de Z(G) no puede ser primo.

Lo que tengo hasta ahora:

-Supongamos que G es abeliana, entonces G \= Z(G) . En este caso, el orden de G:Z(G) sería simplemente 1 que no es primordial.

¿Y ahora qué?

Answer 1

¿Sabe usted que:

Si $G/Z(G)$ es un grupo cíclico, entonces $G$ es abeliana.

y todo grupo de orden primo es cíclico .

Answer 2

Supongamos que $x \notin Z(G)$ y que $C_x$ sea el centralizador de $x$ . claramente $$ Z(G) \subset C_x \subset G $$ la primera inclusión es adecuada, por construcción, y la segunda no puede serlo, porque $[G:Z(G)]$ es un primo. Por lo tanto $C_x = G$ contradiciendo la suposición de que $x \notin Z(G)$

Answer 3

Dejemos que $|G|=n< \infty$ y supongamos $[G:Z(G)] = |G|/|Z(G)| = p\ $ donde $p$ es primo. Entonces $G/Z(G) \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \Rightarrow$ cíclico $\Rightarrow G$ es abeliano; por lo tanto $|Z(G)|=|G| \Rightarrow [G:Z(G)]=1$ que no es primo. Por lo tanto, usted tiene su reclamo.