Suma de $\sin(kx)/k = \pi-x/2$

Question

Necesito mostrar esta igualdad: $$ \sum_{k=1}^n \frac{\sin(kx)}{k} = \frac{\pi - x}{2}$$

Debería usar eso $\displaystyle\frac{\sin(kx)}{k} = \int_\pi ^x \cos(kt)\,\mathrm dt$ .

He intentado muchas veces resolver esto, pero me he quedado atascado. Hay algún truco o algo que no vea?

Answer 1

Sugerencia :

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{\sin(kx)}{k} = \int_\pi ^x \sum_{k=1}^n \cos(kt)\,\mathrm dt$ por linealidad de la integral entonces escribe $\displaystyle\sum_{k=1}^n \cos(kt)$ como la parte real de $\displaystyle\sum_{k=1}^n e^{ikt}$ que es una suma geométrica.

Answer 2

HINT

$$\sum\limits_{k=1}^n{\sin(kx)\over k} = -\sum\limits_{k=1}^n\int\limits_0^x\cos(kx)dx = -\Re\int\limits_0^x\left(\sum\limits_{k=1}^ne^{ikx}\right)dx = -\Re\int\limits_0^x{e^{ikx}\over1-e^{ikx}}dx$$ $$ = \Re\left({1\over ik}\int\limits_0^x{d\left(1-e^{ikx}\right)\over1-e^{ikx}}dx\right) = \Re\left({1\over ik}\log(1-ikx)\right) = {1\over k}\Im\log(1-ikx) = {1\over k}\left(\arg(1-ikx)+2\pi m\right) = {1\over k}\left(-\arctan kx+2\pi m\right)$$