Nivel de confianza unilateral superior e inferior

Question

Estoy tratando de calcular los niveles de confianza superior e inferior de un parámetro, pero no consigo hacerlo bien (en este caso $\sigma^2$ ):

la variable de referencia: $R_{\sigma^2} := \frac{n-1s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$

donde $s^2 = \frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2 $

ahora para el intervalo de confianza obtenemos algo así

$1-\alpha = P\big(\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1) < R_{\sigma^2} < \chi^2_{\alpha/2}(n-1) \big)= P\big( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)} \big) < \sigma^2 < \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\big)$

Ahora quiero encontrar el nivel de confianza superior e inferior de un solo lado y estoy pensando en algo como esto: (para el nivel de confianza superior unilateral)

$ \alpha= P\big(R_{\sigma^2} > \chi^2_{\alpha}(n-1)\big) = P\big(\frac{(n-1)s^2}{ \chi^2_{\alpha}(n-1)}\ > \sigma^2 \big) $ por lo que el nivel de confianza superior viene dado por $\frac{(n-1)s^2}{ \chi^2_{\alpha}(n-1)} = \bar{\sigma^2}$ pero en mi libro dice $\frac{(n-1)s^2}{ \chi^2_{\textbf{1-$ \N - Alfa $} }(n-1)} = \bar{\sigma^2}$ Estoy muy confundido sobre esto, ¿puede alguien ayudarme a entenderlo? $\chi^2_{1-\alpha}(n-1)$ )

Answer 1

$\alpha=P(R_{\sigma ^2}>\chi_{\alpha,n-1}^2)=P(\frac{(n-1)s^2}{\sigma ^2}>\chi_{\alpha,n-1}^2)=P(\frac{\sigma ^2}{(n-1)s^2}>\frac{1}{\chi_{1-\alpha,n-1}^2})$

$=P(\sigma ^2 > \frac{(n-1)s^2}{\chi_{1-\alpha,n-1}^2})\implies\bar{\sigma ^2} = \frac{(n-1)s^2}{\chi_{1-\alpha,n-1}^2}.$ Una buena forma de comprobar tu respuesta es que sepas cuándo $\alpha$ se hace pequeño, $\chi_{\alpha,n-1}^2$ se hace grande y $\chi_{1-\alpha,n-1}^2$ se hace pequeño para cualquier valor de $n>1$ . Esto significa que $\dfrac{1}{\chi_{1-\alpha,n-1}^2}$ se hace cada vez más grande a medida que $\alpha\to 0,$ para que sepas que $\dfrac{1}{\chi_{1-\alpha,n-1}^2}$ es el nivel de confianza superior.