Límite del producto con secuencia no limitada $\lim_{n\to\infty} \sqrt{n}(\sqrt[n]{n}-1)=0$

Question

Tengo que demostrar que

$\lim_{n\to\infty} \sqrt{n}(\sqrt[n]{n}-1)=0$

Probamos que

$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1$

Mi problema es que no sé cómo resolverlo.

Que $\lim_{n\to\infty}(\sqrt[n]{n}-1)=0$ está claro. Pero $\lim_{n\to\infty} \sqrt{n}$ no está acotado.

Así que no puedo calcular simplemente:

$\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\cdot \lim_{n\to\infty}(\sqrt[n]{n}-1)$

¿verdad?

Agradecería todas las pistas :-)

Answer 1

Para $n>1$ tenemos que $\sqrt[n] {n}=1+δ_n$ . Entonces $δ_n>0$ y tenemos que $n=(1+δ_n)^n\geq \frac { n(n-1)(n-2)δ_n^3}{6}$ (Binomio de Newton) $<=>δ_n^3\leq \frac {6}{(n-1)(n-2)}<=> n^{3/2}δ_n^3\leq \frac {n^{3/2}6}{(n-1)(n-2)}$
( $\frac {n^{3/2}6}{(n-1)(n-2)}\to 0$ )y por lo tanto $ n^{3/2}δ_n^3\to 0$ para $n\to \infty$ . Esto significa que $n^{3/2}(\sqrt[n] {n}-1)^3\to 0$ ou $(\sqrt n (\sqrt[n] {n}-1))^3\to 0$ ou $\sqrt n (\sqrt[n] {n}-1)\to 0$ para $n\to \infty$