Aunque está relativamente claro que las clases características no caracterizan un paquete vectorial (y después de mirar a través de algunos libros) no pude encontrar un ejemplo de un paquete vectorial que no sea establemente trivial pero cuyas clases características (las que pueden ser definidas*) son todas triviales. ¿Podría alguien ser tan amable de señalar una referencia para esto?
*un ejemplo con la clase trivial de Stiefel-Whitney ya estaría bien.
Encontrará una respuesta a su pregunta en el proyecto de libro de Hatcher "Vector bundles an K-theory" (p. 75-76) (disponible en su página de inicio). Usando el hecho de que $\pi_8(O(10))=\mathbb Z_2$, puede construir un paquete vectorial trivial no estable sobre la esfera $S^9$ (usando la función de embrague asociada a la clase homotopía no trivial $S^8\rightarrow O(10)$ en $\pi_8(O(10))$). Este paquete vectorial tiene todas sus clases de Stiefel-Whitney y Pontryagin igual a cero.
La desaparición de $w_9$ se deriva de la fórmula de Wu $w_9=w_1w_8+Sq^1(w_8)$.
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