En un espacio vectorial topológico, demuestre si $A$ y $B$ están acotados, entonces $A + B$ ¿está acotado?

Question

Llego hasta aquí antes de quedarme atascado:

Elija cualquier barrio de $0$ y llamarlo $U$ . Entonces existe $a, b$ tal que $A \subseteq aU$ y $B \subseteq bU$ . Por lo tanto $ A + B \subseteq aU+bU$ . Esta última parte debería ser fácil, pero tengo problemas para demostrar que esta última está contenida en otro escalamiento de U. ¿Ayuda para terminar esta prueba?

Answer 1

Por continuidad de la multiplicación por un escalar, podemos tomar $V\subset U$ equilibrada, eso sí, $\lambda x\in V$ si $x\in V$ y $|\lambda|\leqslant 1$ y tal que $V+V\subset U$ (continuidad de la adición). Entonces toma $a,b\gt 0$ tal que $A\subset aV$ y $B\subset bV$ Entonces $$A+B\subset aV+bV=(a+b)\left(\frac a{a+b}V+\frac b{a+b}V\right)\subset (a+b)(V+V)\subset (a+b)U.$$