integral que implica la función suelo y el valor absoluto de sen(x) $\int [x]\mid sin( \pi x)\mid dx $

Question

Estoy luchando con esta integral

$$\int [x]\mid sin( \pi x)\mid dx $$

intenté integrar por partes y el hecho de que

$$\int [x]dx=x[x] $$

según WolframAlpha pero no pude llegar a nada.

Answer 1

Parece que, o bien has copiado mal la respuesta de tu profesor, o bien tu profesor se ha equivocado al escribirla.

Esta consulta de Wolfram Alpha muestra la función que ha copiado. Como puede ver claramente, esta función no es constante entre $x=0$ y $x=1.$ Pero $\lfloor x\rfloor \lvert \sin( \pi x)\rvert = 0$ cuando $0 < x < 1,$ y por tanto cualquier antiderivada de $\lfloor x\rfloor \lvert \sin( \pi x)\rvert$ debe ser constante entre $x=0$ y $x=1.$ (Estoy utilizando la notación más moderna $\lfloor x\rfloor$ para la función del suelo).

Creo que esta consulta de Wolfram Alpha muestra la gráfica de la antiderivada que tu profesor quería darte: $$ \int \lfloor x\rfloor \lvert \sin( \pi x)\rvert \,dx = \frac{\lfloor x\rfloor}{\pi} (\lfloor x\rfloor - (-1)^{\lfloor x\rfloor }cos( \pi x)). $$

Ahora piense en su estrategia para atacar el problema. Cuando ya tienes una función $F$ que cree que es una antiderivada de $f,$ suele ser más fácil demostrar que $F$ es la antiderivada de $f$ tomando la derivada de $F$ que tratando de integrar $f.$

La razón por la que esto se vuelve un poco pegajoso para este particular es que $\lfloor x\rfloor$ es discontinua en cada número entero, lo que dificulta la diferenciación de expresiones que implican $\lfloor x\rfloor.$ Yo abordaría la derivada en el número entero $x$ diferente de la forma en que abordaría la derivada en un número no entero $x.$ Esto significa utilizar al menos dos casos distintos para calcular la derivada.

Suponiendo que $n < x < n+1$ para algún número entero $n,$ debería poder demostrar de forma relativamente directa que $$ \frac{d}{dx} \left(\frac{\lfloor x\rfloor}{\pi} (\lfloor x\rfloor - (-1)^{\lfloor x\rfloor }cos( \pi x))\right) = \lfloor x\rfloor \lvert \sin( \pi x)\rvert. $$

Eso se encarga de la derivada en todos los valores no enteros de $x.$ Entonces, asumiendo $x_0 = n$ donde $n$ es un número entero, demuestre que $\frac{\lfloor x\rfloor}{\pi} (\lfloor x\rfloor - (-1)^{\lfloor x\rfloor }cos( \pi x))$ es continua en $x_0$ y que sus derivadas izquierda y derecha en $x_0$ son ambos iguales a $\lfloor x_0\rfloor \lvert \sin(\pi x_0)\rvert.$

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Si usted absolutamente debe demostrar cómo se puede derivar la integral cuando sólo se da el integrando, sin "hacer una suposición afortunada". un buen primer paso es graficar la función que se quiere integrar. Observa que para $x$ entre dos enteros consecutivos cualesquiera, $\lfloor x\rfloor \lvert \sin(\pi x)\rvert$ es sólo $k \sin(\pi x)$ para algún número entero (posiblemente negativo) $k,$ por lo que es sólo un medio ciclo de la función seno escalado por algún factor. Vea cómo Wolfram Alpha grafica esto .

Examinando la gráfica, deberías ser capaz de identificar trozos del dominio de la función en los que la función es sencilla de integrar. Si simplemente integras cada trozo por separado e ignoras la constante de integración, obtendrás una función continua a trozos de la que cada trozo es una antiderivada correcta de $\lfloor x\rfloor \lvert \sin(\pi x)\rvert$ en el intervalo cubierto por esa pieza.

Pero como la función encontrada de esta manera será discontinua (a no ser que se haya saltado ya al siguiente paso) no será una antiderivada correcta de $\lfloor x\rfloor \lvert \sin(\pi x)\rvert$ sobre todos los números reales. Para obtener una antiderivada correcta en todas partes, puedes encontrar una secuencia de constantes para añadir a cada trozo de la función continua a trozos para "conectar" cada trozo con los trozos anteriores y posteriores y hacer una función continua sobre todos los números reales. A continuación, encontrar una fórmula general para la constante para agregar a cada pieza, y tienes tu integral. De hecho, si miras la respuesta del profesor y consideras sólo el intervalo entre dos números enteros consecutivos, puedes dividir la fórmula en dos partes, una de las cuales es una antiderivada (relativamente) simple de una función sinusoidal en ese intervalo, y la otra es constante sobre el intervalo.

Answer 2

Voy a bordear las integrales definidas e indefinidas utilizando Fórmula Newton-Leibniz ya que la pregunta se refiere a una integral indefinida. Así, consideremos la siguiente función $f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor \left | \sin(\pi x) \right |$ y mirar algunos intervalos y valores de $f(x)$ en esos intervalos: $$x \in [0,1) \Rightarrow f(x)=0$$ $$x \in [1,2) \Rightarrow f(x)=\left | \sin(\pi x) \right |$$ $$x \in [2,3) \Rightarrow f(x)=2\left | \sin(\pi x) \right |$$ $$...$$ $$x \in [n,n+1) \Rightarrow f(x)=n\left | \sin(\pi x) \right | \tag{1}$$ Además, porque $x = \left \lfloor x \right \rfloor + \{x\}$ tenemos $$f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor\left | \sin(\pi x) \right | =\left \lfloor x \right \rfloor \left | \sin(\pi \left( \left \lfloor x \right \rfloor + \{x\}\right)) \right |=\left \lfloor x \right \rfloor \left | \sin\left(\pi \left \lfloor x \right \rfloor+ \pi \{x\}\right) \right |=\\ \left \lfloor x \right \rfloor \left | (-1)^{\left \lfloor x \right \rfloor}\sin( \pi \{x\})) \right |=\left \lfloor x \right \rfloor \left | \sin( \pi \{x\})) \right | \tag{2}$$ Ahora, combinando $(1)$ , $(2)$ y los hechos que $ \sin(\pi x)\geq0, x\in [0,1]$ y $\left|\sin(\pi x)\right|$ es periódica con periodo $1$ $$F(x)=\int\limits_{0}^{x}f(t)dt + C=\int\limits_{0}^{1}f(t)dt+\int\limits_{1}^{2}f(t)dt+...+\int\limits_{\left \lfloor x \right \rfloor}^{x}f(t)dt+C=\\ 0+\int\limits_{1}^{2}\left | \sin(\pi t) \right |dt+2\int\limits_{2}^{3}\left | \sin(\pi t) \right |dt+...+\left \lfloor x \right \rfloor\int\limits_{\left \lfloor x \right \rfloor}^{x}\left | \sin(\pi t) \right |dt+C=\\ \int\limits_{0}^{1}\left | \sin(\pi t) \right |dt+2\int\limits_{0}^{1}\left | \sin(\pi t) \right |dt+...+\left(\left \lfloor x \right \rfloor -1\right)\int\limits_{0}^{1}\left | \sin(\pi t) \right |dt+\left \lfloor x \right \rfloor\int\limits_{\left \lfloor x \right \rfloor}^{x}\left | \sin(\pi t) \right |dt+C=\\ \left(1+2+...+\left \lfloor x \right \rfloor-1\right)\int\limits_{0}^{1}\left | \sin(\pi t) \right |dt + \left \lfloor x \right \rfloor\int\limits_{\left \lfloor x \right \rfloor}^{x}\left | \sin(\pi t) \right |dt + C=\\ \frac{\left \lfloor x \right \rfloor \left(\left \lfloor x \right \rfloor-1\right)}{2}\cdot \frac{2}{\pi}+\left \lfloor x \right \rfloor\int\limits_{0}^{\{x\}}\left | \sin(\pi t) \right |dt + C=\\ \frac{\left \lfloor x \right \rfloor}{\pi} \left(\left \lfloor x \right \rfloor - 1 - \cos(\pi \{x\}) +1 \right)+ C=\frac{\left \lfloor x \right \rfloor}{\pi} \left(\left \lfloor x \right \rfloor - \cos\left(\pi \left(x- \left \lfloor x \right \rfloor\right)\right) \right)+ C=\\ \frac{\left \lfloor x \right \rfloor}{\pi} \left(\left \lfloor x \right \rfloor - (-1)^{\left \lfloor x \right \rfloor}\cos\left(\pi x\right) \right)+ C$$