Ejemplo de un objeto de álgebra conmutativa en una categoría monoidal bridada C

Question

Hola,

Estoy buscando un ejemplo de un objeto de álgebra conmutativa en una categoría monoidal trenzada C que también se pueda convertir en un álgebra de Frobenius conmutativa. Si tienes algún ejemplo ¿podrías decirme también cuál es la multiplicación y la unidad?

Gracias

Dimtris

Answer 1

El ejemplo estándar aquí es cuando la categoría tensorial trenzada es el centro de Drinfeld Z(C) y el objeto del álgebra es la inducción del objeto trivial de C a Z(C). Si C es semsimple sobre un campo algebraicamente cerrado entonces esto puede escribirse explícitamente como $\sum_x x \otimes x^*$ con medio trenzado dado por el Teorema 2.3 de Kirillov-Balsam .

Hay muchos ejemplos triviales cuando se permite que la categoría sea simétrica (lo que presumiblemente no se quiere), por ejemplo, cualquier álgebra conmutativa ordinaria es un objeto de álgebra en la categoría tensorial simétrica (y por tanto trenzada) Vec.

Answer 2

El anillo de grupo de cualquier grupo $G$ es un caso especial de la respuesta de Noé, donde $C$ es la categoría monoidal de $G$ -espacios vectoriales graduados. Esto lo escribí en una entrada del blog hace unos años.

Answer 3

Como ejemplo de un objeto de álgebra conmutativa que también puede convertirse en un álgebra de Frobenius, consideremos el álgebra de polinomios $\mathbb{C}[X]$ en una indeterminada $X$ sobre el campo $\mathbb{C}$ dividido por el ideal $\langle X^d \rangle$ es decir $A=\mathbb{C}[X]/\langle X^d \rangle$ . Se trata de un objeto de álgebra conmutativa en la categoría de espacios vectoriales complejos de dimensión finita $\mathbf{Vect}_{\mathbb{C}}$ . La razón por la que se divide por el ideal $\langle X^d \rangle$ es hacer que el objeto de álgebra (visto como un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ ) de dimensión finita, para poder convertirla en un álgebra de Frobenius. Así, en el caso que nos ocupa $\dim A=d$ . El producto tensorial bifuncional $\otimes_{\mathbb{C}} \colon \mathbf{Vect}_{\mathbb{C}} \times \mathbf{Vect}_{\mathbb{C}} \to \mathbf{Vect}_{\mathbb{C}}$ viene dada por $\cdot \colon A \times A \to A$ . Más explícitamente la multiplicación es $$ \left( \sum_{i=0}^{d-1} a_i X^i \right)\cdot \left( \sum_{j=0}^{d-1} b_j X^j \right) = \sum_{k=0}^{d-1}\left( \sum_{i+j=k} a_ib_j \right)X^k ~, $$ donde $a_i,b_j\in \mathbb{C}$ y $X^i\in A$ . La unidad monoidal viene dada por el campo subyacente $\mathbb{C}$ .