Evaluación de integrales difíciles con exponenciales

Question

Estoy tratando de evaluar una integral difícil. Soy capaz de descomponerla en términos separados y tratar con la multiplicación escalar. Sin embargo, estoy atascado tratando de evaluar dos términos en particular. Aquí está el primero:

$$\int_0^y \exp\left[-\frac{2^x + 2^{y-x}-2}{a}\right]dx$$

Y el segundo (no hay error en los signos del segundo factor):

$$\int_0^y \exp\left[-\frac{2^x + 2^{y-x}-2}{a}\right]\left(\frac{2^{-x}+2^{x-y}}{a}\right)dx$$

¿Puede alguien ayudarme a resolver esto?

EDITAR:

Aquí hay más información sobre mi problema. Básicamente, estoy tratando de encontrar el PDF asociado a la suma de dos RVs i.i.d.: $\underline{Y} = {\underline{X}} + \underline{X}$ . Sé que puedo conseguirlo utilizando la convolución, es decir, $f_{\underline{Y}}(y) = (f_{\underline{X}} * f_{\underline{X}})(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{\underline{X}}(\tau) f_{\underline{X}}(y-\tau)d\tau$ .

Después de unos cuantos pasos y unas cuantas sustituciones, estoy atascado al intentar evaluar las dos integrales de mi pregunta original (de hecho hay otros residuos de esta integración, pero puedo ocuparme de todo lo demás que no sean esas dos integrales). A continuación está la ecuación para $f_{\underline{X}}(x)$ , donde $a = \frac{2\lambda^2P}{\sigma^2}$ es sólo un término constante.

$$f_{\underline{X}}(x) = \begin{cases}\ln (2) \exp\left[-\frac{(2^x-1)\sigma^2}{2\lambda^2P}\right]\left(2^{-x}+\frac{\sigma^2}{2\lambda^2P}\right) &, x \geq 0\\0 &, \textrm{otherwise}\end{cases}$$

Además, si eso ayuda, en realidad no me interesa el PDF de ${\underline{Y}}$ sino sólo su FCD. Por lo tanto, necesito tomar la integral en $y$ de 0 a algún valor $\hat{y}$ del resultado:

$$F_{\underline{Y}}(\hat{y}) = \int_0^{\hat{y}} f_{\underline{Y}}(y)dy$$

Sin embargo, no creo que pueda cambiar las dos integrales o hacer algún truco ingenioso, pero de nuevo, podría estar equivocado.

Answer 1

Para $\int_0^ye^{-\frac{2^x+2^{y-x}-2}{a}}~dx$ ,

$\int_0^ye^{-\frac{2^x+2^{y-x}-2}{a}}~dx$

$=e^\frac{2}{a}\int_0^ye^{-\frac{2^x+2^{y-x}}{a}}~dx$

$=\int_0^y\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^ne^\frac{2}{a}(2^x+2^{y-x})^n}{a^nn!}~dx$

$=\int_0^y\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-1)^nC_k^ne^\frac{2}{a}2^{(n-k)x}2^{k(y-x)}}{a^nn!}~dx$

$=\int_0^y\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-1)^ne^\frac{2}{a}2^{ky}2^{(n-2k)x}}{a^nk!(n-k)!}~dx$

$=\int_0^y\left(e^\frac{2}{a}+\sum\limits_{n=1}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-1)^ne^\frac{2}{a}2^{ky}2^{(n-2k)x}}{a^nk!(n-k)!}\right)~dx$

$=\left[e^\frac{2}{a}x+\sum\limits_{n=1}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-1)^ne^\frac{2}{a}2^{ky}2^{(n-2k)x}}{a^nk!(n-k)!(n-2k)\ln2}\right]_0^y$

$=e^\frac{2}{a}y+\sum\limits_{n=1}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-1)^ne^\frac{2}{a}(2^{(n-k)y}-2^{ky})}{a^nk!(n-k)!(n-2k)\ln2}$