¿Cómo puedo mostrar $R^n$ es denso en $S^n$ ?

Question

¿Cómo puedo mostrar $R^n$ es denso en $S^n$ ? Quería mostrar $S^n$ es la compactación de $R^n$ . para esto necesito $R^n$ no es compacto, para esto no hay problema, y $S^n$ es compacto, lo hice con estereografía, porque está cubierto por un conjunto abierto finito, Ahora quiero mostrar $R^n$ es denso en $S^n$ para este trabajo quizás más fácil con $(0,1)$ en lugar de $R$ porque son isomorfos, ¿es eso correcto? ¿podría ayudarme para más adelante?

Answer 1

Si $X$ es un espacio topológico y $a\in X$ no es un punto aislado, entonces $X\setminus\{a\}$ es denso en $X$ . De hecho, cualquier subconjunto abierto $U$ de $X$ que no se cruza con $X\setminus\{a\}$ debe ba un subconjunto de $\{a\}$ . Como $\{a\}$ no está abierto, tal $U$ debe estar vacío. En otras palabras, todo abierto no vacío $U$ se cruza con $X\setminus\{a\}$ .

Answer 2

Si $\Bbb R^n$ se realiza como la evidente copia homeomórfica $X \subset S^n$ dentro de la compactación de un punto $S^n$ entonces sólo hay que tener en cuenta que cualquier vecindad del punto $\infty$ en el infinito, en la compactación de un punto $S^n$ , se cruza con $X$ .

Así que $\infty$ es un punto límite de $X\subset S^n$ y tautológicamente el único punto límite como $S^n - \Bbb R^n$ no contiene nada más que $\infty$ . Por lo tanto, al tomar el cierre se añade el punto en el infinito a $X$ Por lo tanto $\text{cl}(X) = S^n$ . Eso demuestra que $X$ es denso en $S^n$ .