¿Cuál es un ejemplo de extensión no dividida de las álgebras de Lie?

Question

¿Existe el álgebra de la mentira? $\mathfrak g$ para que la extensión

$$0\xrightarrow{}\mathfrak h\xrightarrow{}\mathfrak g\xrightarrow{}\mathfrak q\xrightarrow{}0$$

no se divide, es decir $\mathfrak g$ no es un producto semidirecto de $\mathfrak h$ y $\mathfrak q$ ? Según tengo entendido, $\mathfrak q$ no debe ser identificable con una subálgebra de $\mathfrak g$ ¿cierto? Desde $\mathfrak h$ es ya un ideal en $\mathfrak g$ como el núcleo.

Answer 1

Supongo que el álgebra de Heisenberg servirá. Esta es el álgebra $\mathfrak{g}$ con base $a, b, c$ y productos $[a, b] = c$ , $[a, c] = [b, c] = 0$ . Tome $\mathfrak{h} = \langle c \rangle$ . Entonces $\mathfrak{q}$ es un álgebra abeliana bidimensional, y todo objeto de este tipo en $\mathfrak{g}$ contienen $c$ .