Resuelve la siguiente función (logarítmica) para x

Question

$x^{log_{2}x}+16x^{-log_{2}x} = 17$

Se ve horrible, empecé por quitar los exponentes:

$e^{ln(x)*log_{2}x}+16e^{-ln(x)*log_{2}x}=17$ | ln()

$ln(x)*log_{2}x-16ln(x)*log_{2}x=ln(17)$

$ln(x)*log_{2}x(1-16)=ln(17)$

$-15ln(x)*log_{2}x=ln(17)$ |:(-15)

$ln(x)*log_{2}x=-\frac{ln(17)}{15}$

Y aquí está el callejón sin salida para mí, intentó varias cosas diferentes no puedo escribirlas todas aquí pero nada condujo a una solución. Al menos se ve mejor que al principio... :D

¿Es éste el camino correcto o hay cosas más fáciles? ¿Y es posible de alguna manera

cambiar $ln(x)*log_{2}x$ a otra cosa, algo que parece mejor?

Answer 1

$$x^{ log_{ 2 }x }+\frac { 16 }{ x^{ log_{ 2 }x } } =17\\ { x }^{ 2\log _{ 2 }{ x } }-17x^{ log_{ 2 }x }+16=0\\ \left( x^{ log_{ 2 }x }-16 \right) \left( x^{ log_{ 2 }x }-1 \right) =0\\ x^{ log_{ 2 }x }=16\Rightarrow \log _{ 2 }{ x^{ log_{ 2 }x } } =\log _{ 2 }{ 16 } \Rightarrow { \left( \log _{ 2 }{ x } \right) }^{ 2 }=4\Rightarrow \log _{ 2 }{ x } =\pm 2\Rightarrow { x }_{ 1 }=4,{ x }_{ 2 }=\frac { 1 }{ 4 } \\ x^{ log_{ 2 }x }=1\Rightarrow \log _{ 2 }{ x^{ log_{ 2 }x } } =\log _{ 2 }{ 1 } \Rightarrow { \left( \log _{ 2 }{ x } \right) }^{ 2 }=0\Rightarrow { x }_{ 3 }=1$$

Answer 2

Dejar $$y=x^{log_2x}$$

su ecuación se convierte en, $$y+\frac{16}y=17$$

resolverlo, se obtienen dos soluciones: 1 y 16.

Ahora es menos horrible, $$x^{log_2x}=1 ~or~ 16 $$

Esto lleva a la solución $x =1$ , $2^2$ y $2^{-2}$