Estimar el número de enteros menores que $m$ que son relativamente primordiales para $p_n\#$

Question

Dejemos que $m \ge 2$ sea un número entero.

Dejemos que $p_n$ sea el $n$ para que $p_1 = 2, p_2 = 3,$ etc.

Dejemos que $p_n\#$ sea el primitivo para $p_n$ .

Dejemos que $\gcd(a,b)$ sea el máximo común divisor para $a$ y $b$ .

Dejemos que $f(m,p_n) =$ el número de enteros $x$ donde $0 < x \le m$ y $\gcd(x,p_n\#)=1$

Por ejemplo:

• $f(10,2)=5$
• $f(10,3)=3$

Me parece que $f(m,p_n)$ puede estimarse de la siguiente manera:

$$\left\lfloor\left(\prod\limits_{p_i \le p_n}\frac{p_i-1}{p_i}\right)m\right\rfloor \le f(m,p_n) \le \left\lceil\left(\prod\limits_{p_i \le p_n}\frac{p_i-1}{p_i}\right)m\right\rceil$$

Este es mi argumento:

Para cualquier $m$ :

• al menos $\left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor$ son impar
• al menos $\left\lfloor\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{m}{2}\right)\right\rfloor$ son Impares y no divisibles por $3$ ,
• al menos $\left\lfloor\left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{m}{2}\right)\right\rfloor$ son Impares, no divisibles por $3$ y no es divisible por $5$ .
• y así sucesivamente.
• como máximo $\left\lceil\frac{m}{2}\right\rceil$ son impar.
• y así sucesivamente de la misma manera.

¿Es válido mi razonamiento? En caso afirmativo, ¿cuál es el argumento estándar? Si mi razonamiento no es válido, ¿podría dar un contraejemplo?

Answer 1

Esto es correcto, básicamente estás aplicando la fórmula de inclusión-exclusión. Hay al menos dos tipos de generalizaciones del problema que has mencionado:

1. Dados enteros positivos coprimos por pares $a_1,\ldots,a_k$ entonces el número de enteros positivos $n\le x$ coprima con cada $a_i$ admite una densidad asintótica $$\left(1-\frac{1}{a_1}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{a_k}\right).$$

2. Dados enteros positivos $a_1,\ldots,a_k$ entonces el número de enteros positivos $n\le x$ no divisible por cada uno $a_i$ admite una densidad asintótica $$\ge \left(1-\frac{1}{a_1}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{a_k}\right).$$ Para una prueba, véase aquí y una exposición de libro de texto aquí .