Explico una prueba combinatoria de esta identidad en esta entrada del blog y este Voy a esbozar la segunda prueba. En primer lugar, se trata realmente de una identidad de funciones simétricas en los valores propios: la primera dice que
$$\sum_{n \ge 0} h_n t^n = \exp \left( \sum_{n \ge 1} \frac{p_n}{n} t^n \right)$$
donde $h_n$ son los polinomios simétricos homogéneos completos y $p_n$ el funciones simétricas de potencia en los valores propios de $U$ . El segundo dice que
$$\sum_{n \ge 0} e_n t^n = \exp \left( \sum_{n \ge 1} (-1)^{n+1} \frac{p_n}{n} t^n \right)$$
donde $e_n$ son los funciones simétricas elementales en los valores propios. No es difícil ver que $\sum h_n t^n = \frac{1}{\sum e_n t^n}$ por lo que en realidad estas identidades son equivalentes, por lo que nos concentraremos en la primera, que no tiene signos.
En primer lugar, aquí está la prueba estándar (con detalles analíticos omitidos, ya que se trata de una igualdad de series de potencias formales de todos modos), que me parece insatisfactoria. Consideremos el operador $\frac{1}{1 - Ut} = \sum_{n \ge 0} U^n t^n.$ Una identidad matricial estándar afirma que $\det \exp M = \exp \text{tr } M$ para cualquier matriz $M$ . Aplicando esta identidad al logaritmo de lo anterior, concluimos que
$$\det \frac{1}{1 - Ut} = \exp \text{tr } \log \frac{1}{1 - Ut} = \exp \left( \sum_{n \ge 1} \frac{p_n}{n} t^n \right).$$
Por otro lado, $\det \frac{1}{1 - Ut} = \frac{1}{\prod (1 - \lambda_i t)}$ donde $\lambda_i$ son los valores propios, y esto es precisamente $\sum h_n t^n$ .
A continuación, un esbozo de la prueba combinatoria. Primero suponemos que $U$ es el matriz de adyacencia de un gráfico finito $G$ . Entonces $\text{tr } U^n$ es el número de paseos cerrados de longitud $n$ en $G$ . Por otro lado, $\text{tr } \text{Sym}^n(U)$ describe algo más complicado: el gráfico $G$ tiene un producto simétrico $\text{Sym}^n(G)$ cuyos vértices son los desordenados $n$ -tuplas de vértices de $G$ y cuyas aristas se eligen de forma que $\text{Sym}^n(U)$ es su matriz de adyacencia.
Ahora $\text{tr } \text{Sym}^n(U)$ describe el número de paseos cerrados de longitud $1$ en el producto simétrico; es decir, el número de bucles. Un bucle en $\text{Sym}^n(U)$ es (a grandes rasgos) una colección desordenada de paseos cerrados sobre $U$ con una longitud total $n$ . Esto resulta implicar, a través de la conocida fórmula exponencial en combinatoria, la identidad deseada.
Ahora bien, como las matrices de adyacencia de los grafos finitos son densas de Zariski en $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ , el resultado se sigue para todas las matrices.
Esta identidad tiene profundidades ocultas. Para un grafo finito $G$ con matriz de adyacencia $A$ la función $\frac{1}{\det(I - At)}$ es una especie de función zeta para $G$ y el argumento anterior está estrechamente relacionado con el producto de Euler de esta función zeta.
