En las categorías de modelos donde cada objeto es bifibrante

Question

La mayoría de las estructuras de modelos que utilizamos tienen que cada objeto es fibrante o que cada objeto es cofibrante, y tenemos varios general construcciones que permiten (bajo algún supuesto) pasar de una situación a otra.

Pero hay muy pocos ejemplos de categorías de modelos en los que cada objeto es a la vez fibrante y cofibrante ("bifibrante").

El único ejemplo que conozco es cuando se empieza con una categoría 2 estricta con 2 límites estrictos y 2 límites hay estructuras modelo en su categoría 1 subyacente donde cada objeto es bifibrante y cuya localización de Dwyer-Kan es equivalente a la $2$ -categoría propia (donde se dejan caer las 2 celdas no invertibles). Así que esto se aplica típicamente a la categoría del modelo canónico en Cat o en Groupoids. Ni siquiera estoy seguro de que se pueda utilizar para modelar cosas como el $2$ -categoría de categorías con límites finitos.

No creo que haya muchos más ejemplos. Pero nunca he visto ninguna obstrucción para esto. Así que:

¿Existe algún ejemplo de una categoría modelo en la que cada objeto sea bifibrante cuya localización no sea una $2$ -¿categoría?

Es todo presentable $\infty$ -¿Representada por una categoría modelo en la que cada objeto es bifibrante? Si (como espero) este no es el caso, ¿podemos dar una "obstrucción" explícita o un ejemplo para mostrar que no es el caso?

Editar : La primera pregunta ha sido completamente contestada, pero no he aceptado la respuesta hasta ahora porque todavía espero obtener una respuesta (positiva o negativa) a la segunda pregunta.

Answer 1

Otro ejemplo viene dado por la estructura del modelo de Strom sobre espacios topológicos donde

• Fibraciones: Fibraciones de Hurewicz,
• Equivalencias débiles : Equivalencias de homotopía (fuertes).

Answer 2

Un ejemplo de otro tipo es la estructura del modelo en $R$ -mod, cuya categoría de homotopía es la categoría de módulos estables. Una gran referencia es el teorema 2.2.12 del libro de Hovey Categorías de modelos . En esta referencia, $R$ se toma como cuasi-Frobenius. Esta estructura del modelo se generaliza para que funcione para cualquier anillo en la tesis de Daniel Bravo, y en un artículo resultante de Bravo-Gillespie-Hovey. Pero, se pierde la propiedad de que todos los objetos son bifibrantes.

Otro ejemplo es la estructura del modelo proyectivo (o inyectivo) en $Ch(R)$ donde $R$ es un campo, y en el que tomamos los complejos de cadena como acotados (por ejemplo, siempre de grado no negativo, o se podrían hacer complejos de co-cadena en grado no positivo). Una gran referencia es el libro de Quillen Teoría de la homotopía racional . Véase también la sección 2.3 del libro de Hovey, pero esto es para la situación de complejos de cadenas no limitados. La cuestión es que, para la estructura del modelo proyectivo, las fibraciones son proyecciones, y como muestra el lema 2.3.6, los complejos inferiores acotados de módulos proyectivos son cofibrantes, y si $R$ es un campo (o anillo semi-simple) entonces todos los módulos son proyectivos.

Answer 3

Consulte este documento para ver algunos ejemplos: Cofibraciones y fibraciones fuertes en categorías enriquecidas por R. Schwänzl y R. M. Vogt.