Simplificando $(1+\cos2x)^2+(-2\sin2x)^2=1+2\cos2x+\cos^22x+4\sin^22x$

Question

Se supone que debo encontrar la longitud de arco de esta curva polar : $r=1+\cos2x$ donde $0\leq x \leq \pi/4$ .

Sé que tengo que utilizar esta fórmula $s=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} \sqrt{r^2+\bigg(\frac{dr}{dx}\bigg)^2} dx$ Mi profesor siempre nos dice que simplifiquemos la expresión bajo la raíz cuadrada antes de tomar la integral. Pero estoy atascado.

$(1+\cos2x)^2+(-2\sin2x)^2=1+2\cos2x+\cos^22x+4\sin^22x$

He intentado utilizar fórmulas de medio ángulo y todo, pero la expresión no se hace más fácil. ¿Alguien tiene algún consejo?

Answer 1

Para $r(x) = 1+\cos(2x)$ , tienes que tu expresión dice $$ \sqrt{r^2+\bigg(\frac{dr}{dx}\bigg)^2} = \cos(x) \sqrt{10 - 6 \cos(2 x)} = \cos(x) \sqrt{4 + 12 \sin(x)^2} $$ La integral ahora se puede hacer utilizando $y=\sin(x)$ y $dy = \cos(x) dx$ . Debe obtener $$ s = \sqrt{5}/2 + \tanh^{-1} \left( \sqrt{3/5} \right) /\sqrt{3} $$

Edición: para simplificar utilice las "fórmulas de doble ángulo".

$(1+\cos2x)^2+(-2\sin2x)^2 = 1 +2 \cos 2x+ \cos^2 2x + 4 \sin^2 2x \\ = 2 + 2 \cos 2x+ 3 \sin^2 2x \\ = 4 \cos^2 x + 3 \sin^2 2x \\ = 4 \cos^2 x + 12 \sin^2 x \cos^2 x$ .

Esta secuencia de pasajes no es única, son posibles otras intuiciones.