Matriz inversa y matriz invertible

Question

Demuestre que las siguientes son equivalentes para las matrices $P$ , $Q$ :

(1) $P$ , $Q$ y $P + Q$ son todos invertibles y $(P + Q)^{-1} = P^{-1} + Q^{-1}$ .

Es decir, Inv $(P+Q)$ = Inv( $P$ )+Inv( $Q$ ).

(2) $P$ es invertible y $Q = PG$ donde $G^{2} + G + I = 0$ .

Answer 1

$(P+Q)^{-1}(P+Q)=(P^{-1}+Q^{-1})(P+Q)$

$I=PP^{-1}+Q^{-1}P+P^{-1}Q+QQ^{-1}=I+Q^{-1}P+P^{-1}Q+I$

$0=Q^{-1}P+P^{-1}Q+I$

$0=(PG)^{-1}P+P^{-1}(PG)+I$

$0=G^{-1}P^{-1}P+P^{-1}PG+I$

$0=G^{-1}+G+I$

$0*G=G^{-1}G+G*G+I*G$

$0=I+G^2+G$

Answer 2

Si $(P+Q)^{-1}=P^{-1}+Q^{-1}$ y todos los términos existen, entonces \begin{align}I&=P^{-1}(P+Q)+Q^{-1}(P+Q)\\I&=2I+P^{-1}Q+Q^{-1}P\\ 0&=I+P^{-1}Q+Q^{-1}P\\ 0&=P^{-1}Q+(P^{-1}Q)^2+I\end{align}

Por lo tanto, $P^{-1}Q$ satisface la relación polinómica $X^2+X+1=0$ .

Por otro lado, si $G^2+G+I=0$ entonces $G$ es invertible (siendo su inversa $-G-I$ ). Si $P$ es invertible, entonces $PG$ es invertible y, además, $$(P+PG)(P^{-1}+G^{-1}P^{-1})=P(I+G)(I-G-I)P^{-1}=I\\ (P^{-1}+G^{-1}P^{-1})(P+PG)=(I+G^{-1})P^{-1}P(I+G)=I$$

Por lo tanto, $P$ y $PG$ son invertibles y la inversa de su suma es la suma de sus inversas.