Demuestre que el siguiente anillo es semisimple

Question

Dejemos que $A$ sea un semisimple de dimensión finita $k$ -donde $k$ es un campo. Si $F/k$ es una extensión de campo separable finito, entonces demuestre que $A \otimes _ k F$ es un semisimple $F$ -Álgebra.

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Nuestra definición para una extensión de campo finito $F/k$ que es separable es que para cualquier $L/k$ algebraico, el $L$ álgebra $L \otimes _k F$ es semisimple.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Otra edición Según lo solicitado, aquí está la solución "reducida" extraída del cuadro general descrito a continuación.

1. Según su definición, $F\otimes_k F$ es semisimple. En particular, el mapa de multiplicación $\mu: F\otimes_k F\to F$ se divide como un mapa de $F\otimes_k F$ módulos. Dejemos que $\sigma: F\to F\otimes_k F$ ser un $F\otimes_k F$ -división lineal de $\mu$ y escribir $\sigma(1) = \sum_i e_i\otimes f_i$ . Entonces $$(\dagger)\qquad\sum_i e_i f_i\ =\ 1$$ por $\mu\circ\sigma=\text{id}$ y $$(\ddagger)\qquad\sum_i x e_i\otimes f_i\ =\ \sum_i e_i\otimes f_i x\quad\text{ for all } x\in F$$ por el $F\otimes_k F$ -linealidad de $\sigma$ .

2. Dejemos que $\pi: M\to N$ sea un epimorfismo de $A\otimes_k F$ -módulos. Tenemos que demostrar que se divide. Como $A$ es semisimple, $\pi$ se divide como un morfismo de $A$ -módulos. Sea $s: N\to M$ ser un $A$ -y considerar el mapa $\tilde{s}: N\to M$ dado por $$\tilde{s}(n) := \sum_i e_i s(f_i n)\quad\text{ for } n\in N.$$ Por $(\dagger)$ , todavía tenemos $\pi\circ\tilde{s} = \text{id}_N$ y por $(\ddagger)$ , $\tilde{s}$ es $F$ -lineal. Por último, el $A$ -linealidad de $s$ transferencias a $\tilde{s}$ . Por lo tanto, $\tilde{s}$ es un $A$ -lineal y $F$ -lineal, por lo tanto $A\otimes_k F$ -división lineal de $\pi$ según sea necesario.

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Editar A continuación se presenta una solución alternativa menos general pero más directa que la esbozada a continuación:

$A/k$ al ser semisimple, es un producto de álgebras matriciales sobre álgebras de división, por lo que podemos suponer $A=D$ para ser un álgebra de división - esto es porque la extensión de la base conmuta tanto con productos finitos como con el paso a álgebras matriciales, y las álgebras matriciales sobre álgebras semisimples son semisimples.

Supongamos que $D$ es un álgebra de división de dimensión finita sobre $k$ y $F/k$ es separable y su sentido. Queremos demostrar que $D\otimes_k F$ es semisimple. Considere el centro $L := \text{Z}(D)$ una extensión de campo finito de $k$ . Para demostrar que $D\otimes_k F$ es semisimple, basta con comprobar que $D^{\text{opp}}\otimes_L (D\otimes_k F)$ es semisimple (el enunciado general es: Si $B\otimes_k A$ es semisimple, entonces también lo es $A$ ). Ahora $$D^{\text{opp}}\otimes_L (D\otimes_k F)\cong (D^{\text{opp}}\otimes_L D)\otimes_k F\stackrel{(\ast)}{\cong}\text{Mat}_{\dim_L D}(L)\otimes_k F\cong\text{Mat}_{\dim_L D}(L\otimes_k F).$$ Según su definición de separabilidad, $L\otimes_k F$ es semisimple, por lo que también lo es $\text{Mat}_{\dim_L D}(L\otimes_k F)$ y hemos terminado.

El paso crucial aquí es $(\ast)$ Véase, por ejemplo, el corolario 2.9 en Notas de Milne sobre la teoría del campo de clases

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Lo siguiente es un poco más general que lo que pediste, pero espero que aclare la relación general entre semisimplicidad, separabilidad y estabilidad de la semisimplicidad bajo extensión de base. Como ejercicio, podrías escribirlo todo explícitamente en tu situación concreta.

Dejemos que ${\mathbb k}$ sea un anillo conmutativo. Llama a una extensión $A/B$ de ${\mathbb k}$ -algebras semisimple si una secuencia corta y exacta de $A$ -módulos se divide en $A$ si y sólo si se divide en $B$ (esto no implica ${\mathbb k}$ ). Llame a $A/B$ universalmente semisimple en ${\mathbb k}$ si para cualquier ${\mathbb k}$ -Álgebra $C$ la extensión $A\otimes_{\mathbb k} C / B\otimes_{\mathbb k} C$ es semisimple. Llama a $A/B$ separable en ${\mathbb k}$ si el mapa de multiplicación $\mu_{A/B}: A\otimes_{B} A^{\text{opp}}\to A$ se divide como un morfismo de $A\otimes_{\mathbb k}A^{\text{opp}}$ -módulos.

Si $B$ es (absolutamente) semisimple, la semisimplicidad (relativa) de $A/B$ es equivalente a la semisimplicidad (absoluta) de $A$ . Además, si $A/B$ y $B/C$ son semisimples, entonces también lo son $A/C$ .

Ahora puede comprobar lo siguiente:

Lema 1: Dejemos que $A/B$ sea separable sobre ${\mathbb k}$ . Entonces se cumple lo siguiente:

1. $A/B$ es semisimple.
2. Para cualquier ${\mathbb k}$ -Álgebra $C$ , $A\otimes_{\mathbb k} C/B\otimes_{\mathbb k} C$ es separable.

En particular, $A/B$ es universalmente semisimple sobre ${\mathbb k}$ .

Para $\text{(1)}$ , puedes ' $A$ -linealizar" cualquier $B$ -mapa lineal entre $A$ -multiplicándolo por un separabilidad idempotente de $A/B$ es decir, la imagen de $1$ bajo una $A\otimes_BA^{\text{opp}}$ -división lineal de $\mu_{B/A}$ . Esto recuerda a la demostración del Teorema de Maschke sobre la semisimplicidad de las álgebras de grupos finitos.

Por el contrario, tú sí:

Lema 2: Considere las siguientes propiedades de una extensión $A/B$ en ${\mathbb k}$ :

1. $A/B$ es univeralmente semisimple sobre ${\mathbb k}$ .
2. $A\otimes_{\mathbb k} A^{\text{opp}} / B\otimes_{\mathbb k} A^{\text{opp}}$ es semisimple.
3. $A/B$ es separable sobre ${\mathbb k}$ .

Entonces $\text{(1)}\Rightarrow\text{(2)}\Rightarrow\text{(3)}$ .

Sí, es cierto, $\text{(1)}\Rightarrow\text{(2)}$ sigue tomando $C := A^{\text{opp}}$ en la definición de semisimplicidad universal, mientras que $\text{(2)}\Rightarrow\text{(3)}$ es cierto ya que $\mu_{A/B}$ se divide en $B\otimes_{\mathbb k} A^{\text{opp}}$ a través de $a\mapsto 1\otimes a$ .

Desde $\text{(3)}\Rightarrow\text{(1)}$ por el lema 1, vemos que de hecho $\text{(1)}\Leftrightarrow\text{(2)}\Leftrightarrow\text{(3)}$ . Además, concluimos que la definición anterior de separabilidad sobre ${\mathbb k}$ de una extensión de campo finito $F/{\mathbb k}$ es equivalente a su definición de separabilidad: Por definición, la versión anterior es al menos tan fuerte como su definición, y a la inversa, tomando $L := F$ en su definición verifica la propiedad $\text{(2)}$ .

Finalmente necesitas poner todo junto. Supongamos que $F/{\mathbb k}$ es una extensión de campo separable en su sentido, entonces:

1. Entonces $F/{\mathbb k}$ es separable en el sentido anterior, y por tanto universalmente semisimple sobre ${\mathbb k}$ Así que $F\otimes_{\mathbb k} A/ A$ es semisimple para todo $A/{\mathbb k}$ .

2. En particular, para $A$ (absolutamente) semisimple, tanto $F\otimes_{\mathbb k} A/ A$ y $A/{\mathbb k}$ son semisimples.

3. En este caso, $F\otimes_{\mathbb k} A / {\mathbb k}$ también es semisimple, por transitividad de la semisimplicidad. Dado que ${\mathbb k}$ es absolutamente semisimple, $F\otimes_{\mathbb k} A$ es absolutamente semisimple, también, como se afirma.

Answer 2

Yo probablemente habría seguido un camino ligeramente diferente: como en la primera "edición" de la respuesta de Hanno arriba, basta con mostrar el resultado para un álgebra de división de dimensión finita $D$ en $k$ . Sea $L=Z(D)$ sea su centro. Entonces $D/L$ es un "álgebra simple central", por lo que un álgebra simple con centro $L$ . De ello se desprende que $D\otimes_LK$ es un álgebra simple central sobre $K$ para todas las extensiones de campo $K/L$ . Entonces para todas las extensiones de campo separables $F/k$ podemos descomponer $L\otimes_kF$ como un producto de campos, digamos $K_1\times\cdots\times K_n$ y así $$ D\otimes_kF \cong D\otimes_L(L\otimes_kF) \cong (D\otimes_LK_1)\times\cdots\times(D\otimes_LK_n) $$ es un álgebra semisimple.