Distribución conjunta de $\frac{X}{X+Y}$ y $X+Y$

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean variables aleatorias i.i.d. ¿Qué condiciones son necesarias para $\frac{X}{X+Y}$ y $X+Y$ para ser independiente?

Esto es válido en el caso de que $X,Y \sim \Gamma\left(a,b\right)$ pero no estoy seguro de cómo analizar un caso general. Alguna simulación básica parece mostrar que no se mantiene para las normales, pero no es rechazada por las pruebas de independencia basadas en la cópula para la distribución Beta.

Answer 1

He aquí una solución parcial que parte de los siguientes supuestos:

Supuesto. La distribución común de $X$ y $Y$ tiene p.d.f. $f$ que es compatible con $(0, \infty)$ y satisface $f(x) \sim c x^{\alpha}$ para algunos $c > 0$ y $\alpha \geq 0$ como $x\downarrow 0$ .

Bajo este supuesto, podemos comprobar que tanto $X$ y $Y$ tienen la distribución gamma.

De hecho, es fácil comprobar que $U = X+Y$ y $V = \frac{X}{X+Y}$ tienen densidades $f_U$ y $f_V$ respectivamente, y para cada $u > 0$ y $v \in (0, 1)$ lo siguiente es cierto:

$$ f_U(u) = \int_{0}^{u} f(x)f(u-x) \, dx, \qquad u f(uv)f(u(1-v)) = f_U(u)f_V(v). $$

A partir de esto, encontramos que

$$ f_V(v) = \frac{f(uv)f(u(1-v))}{\int_{0}^{1} f(ux)f(u(1-x)) \, dx}. $$

Entonces, dividiendo el numerador y el denominador por $u^{2\alpha}$ y dejar que $u \downarrow 0$ da

$$ f_V(v) = \frac{v^{\alpha}(1-v)^{\alpha}}{\int_{0}^{1} x^{\alpha}(1-x)^{\alpha} \, dx} = Cv^{\alpha}(1-v)^{\alpha} $$

para la constante de normalización $C = \frac{\Gamma(2\alpha+2)}{\Gamma(\alpha+1)^2}$ . Enchufando esto de nuevo y escribiendo $(x, y) = (uv, u(1-v))$ ,

$$ f(x)f(y) = C f_U(x+y) \frac{x^{\alpha}y^{\alpha}}{(x+y)^{2\alpha+1}}. $$

Dividiendo ambos lados por $y^{\alpha}$ y dejar que $y \downarrow 0$ obtenemos $ Cf_U(x) = c x^{\alpha+1} f(x)$ . Así, si definimos $g(x)$ por $f(x) = cx^{\alpha}g(x)$ entonces $g$ satisface la ecuación funcional

$$ g(x)g(y) = g(x+y) $$

y por lo tanto $g(x) = e^{-\lambda x}$ para algunos $\lambda > 0$ . Por lo tanto, se deduce que tanto $X$ y $Y$ tienen la distribución gamma de la tasa $\lambda$ y el parámetro de forma $\alpha+1$ .