Resolución de sistemas lineales de ecuaciones cuando una variable se cancela

Question

Tengo el siguiente sistema lineal de ecuaciones con dos variables desconocidas $x$ y $y$ . Hay dos ecuaciones y dos incógnitas. Sin embargo, cuando se resuelve la segunda ecuación para $y$ y se sustituye en la primera ecuación, el $x$ cancela. ¿Hay alguna manera de reescribir este sistema o de reescribir el problema para que pueda resolver $x$ y $y$ utilizando el álgebra lineal u otro tipo de método numérico?

$2.6513 = \frac{3}{2}y + \frac{x}{2}$

$1.7675 = y + \frac{x}{3}$

En las dos ecuaciones anteriores $x=3$ y $y=0.7675$ pero quiero resolver para $x$ y $y$ dado el sistema anterior.

Si resto la segunda ecuación de la primera, entonces:

$2.6513 - 1.7675 = \frac{3}{2}y - y + \frac{x}{2} - \frac{x}{3}$

¿Puede la ecuación en esta forma alternativa ser útil para resolver $x$ y $y$ ? ¿Hay algún otro procedimiento que pueda utilizar?

En esta forma alternativa, ¿sería posible limitar $x$ y $y$ de alguna manera para que una solución para $x$ y $y$ se puede encontrar por medio de la optimización numérica?

Answer 1

$$\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{c} 2.6513=\frac{3}{2}y+\frac{x}{2} \\ 1.7675=y+\frac{x}{3} \end{array} \right. \end{equation*}$$

Si multiplicamos la primera ecuación por $2$ y el segundo por $3$ obtenemos $$\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{c} 5.3026=3y+x \\ 5.3025=3y+x \end{array} \right. \end{equation*}$$

Este sistema no tiene solución porque $$\begin{equation*} 5.3026\neq 5.3025 \end{equation*}$$

Sin embargo, si el número $2.6513$ resultado del redondeo $2.65125$ , entonces el el mismo cálculo da como resultado $$\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{c} 5.3025=3y+x \\ 5.3025=3y+x \end{array} \right. \end{equation*}$$ que es satisfecha por todos los $x,y$ .

Un sistema de la forma

$$\begin{equation*} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \end{pmatrix} \end{equation*}$$

tiene la solución (Regla de Cramer) $$\begin{equation*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =\frac{1}{\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} } \begin{pmatrix} a_{22}b_{1}-a_{12}b_{2} \\ a_{11}b_{2}-a_{21}b_{1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{a_{22}b_{1}-a_{12}b_{2}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}} \\ \frac{a_{11}b_{2}-a_{21}b_{1}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}} \end{pmatrix} \end{equation*}$$

si $\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}% \end{pmatrix}% \neq 0$ .

En el presente caso, tenemos $$\begin{equation*} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{1}{3} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.6513 \\ 1.7675 \end{pmatrix} \end{equation*}$$

y $$\det \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{1}{3} & 1 \end{pmatrix} =0$$

Answer 2

Parece que el sistema de ecuaciones es linealmente dependiente, ya que $\det(A) = 0$ utilizando la regla de Cramer y una ecuación puede transformarse en la otra mediante la multiplicación. Como ambas ecuaciones son la misma línea, no hay intersección.

Tal vez haya una forma de limitar $x$ y $y$ para poder utilizar algún tipo de procedimiento de optimización para determinar $x$ y $y$ .