Desigualdad de probabilidad simple para mostrar

Question

¿Cómo puedo demostrar que $P(A \cup B) P(A\cap B) \le P(A) P(B)$ para cualquier evento A y B?

He intentado utilizar el principio de inclusión/exclusión y utilizar la probabilidad condicional, pero sigo dando vueltas.

Gracias

Answer 1

Dejemos que $X=A\backslash B$ , $Y=A\cap B$ , $Z=B\backslash A$ sean tres eventos disjuntos y $x=P(X)$ , $y=P(Y)$ , $z=P(Z)$ ( $x,y,z \geq 0$ ).

Entonces: $$P(A)=x+y\\P(B)=y+z\\P(A\cup B)=x+y+z\\P(A\cap B)=y$$ Así que $$P(A)P(B)-P(A\cup B)P(A\cap B)=\\(x+y)(y+z)-y(x+y+z)=\\xy+xz+y^2+yz-xy-y^2-yz = \\ xz \geq 0$$ Así: $$P(A)P(B)\geq P(A\cup B)P(A\cap B)$$