$\mathcal{B}(\mathbb{R})$ -medible vs. medible $\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}})$ -medible

Question

Dejemos que $(E,\mathcal{E})$ un espacio medible y $f \colon E \to \mathbb{R}$ una función. ¿Es correcto, que $f$ es $\mathcal{E}$ - $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ -medible si $i \circ f$ es $\mathcal{E}$ - $\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}})$ -medible, donde $i$ es la inclusión $\mathbb{R} \to \overline{\mathbb{R}}$ ? ( $\mathcal{B}(\mathbb{R}) $ es el Borel $\sigma$ -Algebra)

Answer 1

Sí, es cierto.

Si $f$ es $\mathcal{E}$ - $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ -medible, entonces, para todos $E \in \mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}})$ , $$ (i \circ f)^{-1}(E) =f^{-1}(i^{-1}(E))= f^{-1}(E \cap \Bbb R) \in \mathcal{E}$$ (porque $E \cap \Bbb R \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ ). Así que, $i \circ f$ es $\mathcal{E}$ - $\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}})$ -medible

Si $i \circ f$ es $\mathcal{E}$ - $\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}})$ -medible, entonces, para todos $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ tenemos que $A \in \mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}})$ y $i^{-1}(A) =A$ . Así que $$ f^{-1}(A) = f^{-1}(i^{-1}(A))= (i \circ f)^{-1}(A)\in \mathcal{E}$$ Así que, $f$ es $\mathcal{E}$ - $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ -medible