Geodésicamente completo implica un mapa exponencial definido en todo $T_pM$

Question

Esto debería ser completamente sencillo, ya que todos los libros que he leído sobre el teorema de Hopf-Rinow dicen que es "obvio". Pero no puedo encontrar la vida de mí para justificar esto.

Geodésicamente completo significa que cada geodésica $\gamma$ se extiende a todo el tiempo $\mathbb{R}$ . ¿Cómo se relaciona eso con la velocidad $\gamma'$ (que por lo tanto se relaciona con exp)? Si la curva se extiende a lo largo de todo el tiempo, ¿implican que la velocidad también se extiende a lo largo de todo el tiempo? ¿Tiene eso algún sentido, ya que la velocidad es constante para una geodésica, así que por qué estaría unida al parámetro del tiempo?

Answer 1

Dejemos que $v \in T_p M$ , $\gamma$ una geodésica que tiene velocidad $v$ en $\gamma(0)=p$ .

El mapa exponencial definido en $p$ toma vectores $v$ de $T_p M$ y considera la geodésica que tiene esa velocidad en el punto $p$ . Este mapa hace lo siguiente, $v \to \gamma(1)$ siempre que se defina el punto $\gamma(1)$ . Geométricamente lo que hace el mapa es tomar una geodésica y montarla hasta que haya transcurrido una unidad de tiempo. Por tanto, si la superficie es geodésica completa no hay razón para que se detenga. Esto significa que $\gamma(1)$ está siempre definida y por tanto el dominio del mapa exponencial es todo $T_p M$ . A la inversa, si para todos los puntos $p$ y toda la velocidad $v \in T_p M$ el mapa exponencial está definido significa que la superficie es geodésicamente completa.

Esto muestra por qué ser geodésico completo en el sentido de que el dominio de una geodésica es todo $\mathbb R$ es exactamente igual que el mapa exponencial esté definido en todos los puntos de la superficie y para todas las velocidades en el espacio tangente al punto.

Answer 2

Dejemos que $(M,g)$ una variedad riemanniana. Recordemos que para todo $p\in M$ y $v \in T_pM$ existe algún $\varepsilon > 0$ y un $C^\infty$ curva $\gamma(t)\colon (-\varepsilon, \varepsilon)\to M$ tal que $\gamma$ es la única geodésica que pasa por $p$ en el momento cero con la velocidad $\dot{\gamma}(0) = v$ . El hecho de que el mapa exponencial esté definido para algún $v \in T_pM$ no tiene nada que ver con la existencia de una geodésica a través de $p$ con velocidad $v$ (¡esto siempre ocurre!), pero con el hecho de que $\gamma(1)$ se define ( $\varepsilon > 1$ ). Hay que tener cuidado al pensar que una reparametrización cambiaría la velocidad de una geodésica. En las primeras cinco páginas del capítulo 3 del libro de do Carmo se da un tratamiento muy cuidadoso

Answer 3

Si no quieres volver a usar Picard-Lindelöf y sólo confías en que $\exp(X)$ existe para todos los $X\in T_pM$ avec $|X|$ lo suficientemente pequeño puedes hacerlo así:

Para $X\in T_pM$ queremos mostrar $\exp(X)$ existe. Al principio sólo sabemos que $\exp(\varepsilon X)$ existe para algunos pequeños $\varepsilon>0$ esto significa que hay una geodésica $\gamma :[0,1]\rightarrow M$ tal que $\gamma'(0)=\varepsilon X$ y $\gamma(1)=\exp(\varepsilon X)$ . Entonces, por la suposición $\gamma$ se extiende a una geodésica definida en todo $\mathbb{R}$ .

Ahora considere $\bar\gamma :\mathbb{R}\rightarrow M$ , $t\mapsto\gamma(\frac 1 \varepsilon t)$ . Entonces $\bar\gamma$ es una geodésica con $\bar\gamma'(0)=X$ que se define en el conjunto de $\mathbb{R}$ . En particular $\exp(X)=\bar\gamma(1)$ existe.