¿Cómo puedo encontrar el dominio de esta función logarítmica sqrt?

Question

Puede alguien ayudarme a encontrar el dominio de esta función paso a paso, Sé cómo encontrar el dominio de un logaritmo haciéndolo >0 pero no estoy seguro del proceso haciéndolo con 2 logaritmos diferentes y una raíz cuadrada. $$f(x)=\sqrt{\log_{0.5}(5-x)+\log_2(2x-4)-1}$$

Answer 1

En primer lugar, vamos a definir tanto el $\log$ s, entrada de $\log$ debe ser una cantidad positiva.

$5 - x > 0 \implies x \in (-\infty, 5)$

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$2x - 4 > 0 \implies x \in (2, \infty)$

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Ahora sabemos que $\log_{a}{b} = -\log_{\frac{1}{a}}{b} = \log_{\frac{1}{a}}{\frac{1}{b}}$

$\implies\log_{0.5}(5-x) = \log_{2}{\frac{1}{5-x}}$

Ahora, sabemos que cualquier cosa dentro de la raíz cuadrada debe ser no negativa.

$\implies \log_{0.5}(5-x)+\log_2(2x-4)-1 \geq 0$

$\implies \log_{2}{\frac{1}{5-x}+\log_2(2x-4)-1} \geq 0$

$\implies \log_2{\frac{2x-4}{5-x}} \geq 1$

$\implies \frac{2x-4}{5-x} \geq 2$

$\implies \frac{2x-4}{5-x} - 2 \geq 0$

$\implies \frac{4x-14}{5-x} \geq 0$

$\implies \frac{4x-14}{x-5} \leq 0$

$\implies x \in [\frac72, 5)$

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Tomando la intersección de los 3 intervalos:

$$\boxed{x \in [\frac72,5)}$$