$\{(x,y)\!\in\!\mathbb{B}^n; -\varepsilon\leq-\|x\|^2\!+\!\|y\|^2\leq\varepsilon\}\approx\mathbb{B}^k\!\times\!\mathbb{B}^{n-k}$

Question

La pregunta está motivada por la idea de manejar el apego, de la teoría de Morse, puntos críticos de índice $k$, Morse lema, subnivel conjuntos, etc.

Para$0\!\leq\!k\!\leq\!n$$0\!<\!\varepsilon\!<\!1$, ¿cómo puedo encontrar un homeomorphism $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\{x\!\in\!\mathbb{B}^n;\, -\varepsilon\leq-\sum_{i=1}^k\!x_i^2+\!\sum_{i=k+1}^n\!x_i^2\leq\varepsilon\}\;\;\approx\;\;\mathbb{B}^k\!\times\!\mathbb{B}^{n-k}\;\;\;\text{ that sends}$$ $$\{x\!\in\!\mathbb{B}^n;\, -\varepsilon=-\sum_{i=1}^k\!x_i^2+\!\sum_{i=k+1}^n\!x_i^2\}\;\;\approx\;\;\mathbb{S}^{k-1}\!\times\!\mathbb{B}^{n-k}\;\;\;?$$

El caso $n\!=\!2$, $k\!=\!1$:

El caso $n\!=\!3$, $k\!=\!1$:

El caso $n\!=\!3$, $k\!=\!2$:

Answer 1

Puedo encontrar una respuesta para los casos especiales que se enumeran aquí, pero estoy teniendo un tiempo difícil la generalización arbitraria $n$$k$. Espero que esto al menos ayuda un poco. En lo que sigue, vamos a $\beta = \sqrt{(1+\epsilon)/2}$.

Deje $\xi^{2} = \sum_{i=2}^{n} x_{i}^{2}$ y vamos a llamar a la hyperboloid hoja de $M$. Siempre que $k = 1$ es evidente que existe una estrategia para definir un homeomorphism: para acoplar su hyperboloid hojas. El hyperboloid está dada por la ecuación de $x_{1}^{2} - \xi^{2} = \epsilon$, por lo que re-organización da:

$x_{1} = \pm\sqrt{\epsilon + \xi^{2}}$

Ahora podemos definir el homeomorphism y su inversa:

$\varphi: M\to S^{0}\times B^{n-1}$

$\varphi(x_{1},\dots,x_{n}) = (\mathrm{sgn}x_{1}, x_{2},\dots,x_{n})$

La última $n-2$ coordenadas de hecho, el mapa de una pelota desde $\xi^{2} \leq \beta^{2}$. A la inversa se puede comprobar fácilmente:

$\varphi^{-1}(\pm 1, x_{1},\dots,x_{n}) = (\pm \sqrt{\epsilon+\xi^{2}},x_{2},\dots,x_{n})$.

Ahora si $k = 2$ es ligeramente más complicado. Voy a hacer el caso de $n=3$ para la concreción. Voy a llamar a mi coordenadas $(x,y,z)$ y en $M$ debemos satisfacer $x^{2} +y^{2} - z^{2} = \epsilon$. Vamos a encontrar la intersección de $B^{3}$$M$: debemos tener $x^{2}+y^{2}+z^{2} = 1$$x^{2}+y^{2}-z^{2} = \epsilon$, por lo que la intersección debe satisfacer $x^{2} + y^{2} = \beta^{2}$.

Me gustaría encontrar una $c$ tal que $c^{2}(x^{2}+y^{2}) = \beta^{2}$ cualquier $(x,y,z) \in M$. Observe que:

$c^{2}(x^{2}+y^{2}) = c^{2}(z^{2}+\epsilon) = \beta^{2} \Longrightarrow c = \sqrt{\frac{\beta}{z^{2}+\epsilon}}$

Ahora puedo definir mi homeomorphism:

$\psi: M \to S^{1}\times B^{1}$

$\psi(x,y,z) = (cx,cy,z)$

Donde$\vert z \vert < \sqrt{\frac{1-\epsilon}{2}}$$(cx)^{2} + (cy)^{2} = \beta^{2}$, por lo que estamos asignación a donde queremos. La inversa de este mapa es la más obvia.

De todos modos esperamos que esto les ayude un poco!

Answer 2

Denotar $(x_1, \ldots, x_k)= Y$$(x_{k+1}, \ldots, x_n)= X$. A continuación, la región está dado por $-\epsilon \leq |X|^2-|Y|^2 \leq \epsilon$$|Y|^2+|X|^2 \leq 1$.

Aquí es casi una solución, que por desgracia no es tan straigthforwrd como me gustaría, debido a algunos problemas técnicos, pero la idea general se espera debe ser claro y puede ser útil.

Procedemos en dos partes. Primera parte, es decir, que la región en que el problema es homeomórficos a la región de $-\epsilon \leq |X|^2-|Y|^2 \leq \epsilon$ - sin el otro por la desigualdad después de compactifing en el infinito; este compactified región llamaremos $R$.

El siguiente paso es proporcionar la necesaria homeomorphism de la nueva región de $R$ a los productos de bolas como se desee (descrito a continuación). Finalmente, uno tiene que ver que la composición de los dos homeomorphisms hace lo correcto en el límite.

Para el homeomorpism de $R$ al producto de bolas, la idea es proporcionar un diffeomorphism a $\mathbb{B}^1 \times \mathbb{B}^1$ para el caso de $k=1$ $n=2$ y, a continuación, utilizar la $O(k) \times O(n-k)$ simetría para extender para el caso general.

Vamos a empezar con la $k=1$ $n=2$ caso primero. En este caso, $R$ se obtiene mediante la adición de 4 "de la esquina" puntos en el infinito.

Tenemos $ -\epsilon \leq x^2-y^2 \leq \epsilon$ que queremos asignar a $\mathbb{B}^1$ en dos "buenas" maneras, de manera que obtenemos un mapa de a $\mathbb{B}^1 \times \mathbb{B}^1$. Vamos a dar un mapa, y la otra será obtenido por el cambio de $x$$y$.

Aquí por "bueno", nos referimos, por un lado, que la preimagen de $0$ durante el primer mapa es el subconjunto $y=0$, y el límite de $x^2-y^2 = -\epsilon$ se asigna a $\pm 1$. Esto sugiere escribir $y=0$ $-y^2=0$ e interpolando entre el dos por $tx^2-y^2=-\epsilon t$, por lo que el $t= \frac{y^2}{x^2+\epsilon}$ (aquí uno haría bien para dibujar una imagen de la familia de la interpolación de las curvas de $y=0$$x^2-y^2=-\epsilon$). Esta $t$ entre $0$ $1$ y es una buena definición para $y \geq 0$, pero desde $t$ es invariante bajo $y$ ir $-y$ no funciona bien para $y<0$. Para solucionar esto podemos definir $g_1(x,y)$ $t$ si $y\geq 0$ $-t$ si $y<0$. Tenga en cuenta que este es continua y a es $O(1)=\mathbb{Z}_2$ equivariant. Definimos $f_1$ como la restricción de $g_1$ a la región cuando empezamos, que es uno con la condición adicional de $x^2+y^2\leq 1$.

Además, definimos $f_2(x,y)=f_1(y,x)$. Pretendemos que $F=(f_1, f_2)$ es un homeomorphism a $\mathbb{B}^1 \times \mathbb{B}^1$. De hecho, la recuperación de $(x,y)$ $(t,s)$ requiere resolver un sistema lineal de $x^2$ $y^2$ que ha determinante $\pm ts-1$ que no es 0 fuera de las 4 esquinas donde se $|t|=|s|=1$, y en las esquinas se correlacionan con el 4 compactification puntos en el infinito. Se verifica la continuidad de este inversa mapa por separado cerca de las 4 esquinas y en todos los demás.

Ahora, para el caso general.

El compactification $R$ que se necesita es la adición de la "esquina estrato" $\mathbb{S}^{k-1} \times \mathbb{S}^{n-1}$, que es el $|X|^2=N+\epsilon$, $|Y|^2=N$ para un gran $N$ (más precisamente, uno podría definir $R$ como el original de la región discontinuo de la unión de $\mathbb{S}^{k-1} \times \mathbb{S}^{n-1}$ y poner la correcta topología que hace que $\mathbb{S}^{k-1} \times \mathbb{S}^{n-1}$ se encuentran en el infinito).

Deje $H= (\frac{Y}{|Y|} f_1(|X|, |Y|), \frac{X}{|X|} f_2(|X|, |Y|))$. Tenga en cuenta que este es un mapa a $\mathbb{B}^k \times \mathbb{B}^n$, que se limita a $|X|^2- |Y|^2=-\epsilon$ se asigna a $\mathbb{S}^{k-1} \times \mathbb{B}^n$ (y que si $k=1$ $n=2$ le da la espalda a $F$). Es un homeomorphism, esencialmente por las mismas razones por las $F$ fue.

Nota: Todo esto da a la deseada homomorphism. Sin embargo, si tuviera que volver a escribir desde cero, probablemente me acaba de restringir el mapa de $H$ para el dominio original $-\epsilon \leq |X|^2-|Y|^2 \leq \epsilon$$|Y|^2+|X|^2 \leq 1$, luego dicen que es un homeomorphism a su imagen dentro de $\mathbb{B}^k \times \mathbb{B}^n$ y luego dicen que la imagen es homeomórficos a todos los de $\mathbb{B}^k \times \mathbb{B}^n$.