El problema:
El $2013-14$ fue un efímero rayo de esperanza en una larga noche oscura para el mejor equipo de fútbol del mundo. El equipo jugó $38$ partidos de liga y el principal factor que contribuyó al éxito fue Luis Suárez $31$ objetivos.
$(i)$ Suárez fue suspendido durante los cinco primeros partidos de la temporada tras haber mordido a un jugador del Chelsea la primavera anterior.
$(ii)$ El mayor número de goles que marcó en un partido fue cuatro, y esto lo consiguió una vez.
$(iii)$ Marcó dos goles en seis ocasiones.
¿Cuántas posibilidades deja esto para su récord goleador?
Solución:
Suárez jugó $33$ juegos.
Hay $\binom{33}{1}$ opciones para el partido en el que marcó cuatro goles.
Luego están $\binom{32}{6}$ opciones para los seis partidos en los que marcó dos goles cada uno.
Esto deja $26$ juegos y sabemos que
$(a)$ Anotó $0,1$ ou $3$ goles en cada uno de estos partidos.
$(b)$ Ha marcado un total de $3142 \cdot 6 = 15$ objetivos en estos $26$ juegos.
Buscamos el número de soluciones a
$x_1 + \cdots + x_{26} = 15, \:\:\:\: x_i \in \{0,1,3\}$
Hacemos un análisis caso por caso:
Caso $1$ : Anotó $3$ goles cinco veces y $0$ goles cada dos por tres. Hay $\binom{26}{5}$ opciones para los juegos de gol.
Caso $2$ : Anotó $3$ goles en cuatro ocasiones, $1$ gol tres veces y $0$ objetivos en caso contrario. Hay $\binom{26}{4}\binom{22}{3}$ opciones para los juegos de gol.
y así sucesivamente...
Si lo juntamos todo, utilizando los principios de multiplicación y adición, el número de posibilidades de su récord goleador es
$$\binom{33}{1}\binom{32}{6}\left[\binom{26}{5} + \binom{26}{4}\binom{22}{3} + \binom{26}{3}\binom{23}{6} + \binom{26}{2}\binom{24}{9} + \binom{26}{1}\binom{25}{12} + \binom{26}{15} \right]$$
$$\approx 2.5521 \times 10^{16}$$
¿Existe una forma más eficiente de resolver este problema y otros similares en los que las restricciones pueden ser aún más difíciles? Por ejemplo, ¿cómo utilizarías las funciones generadoras que se sugieren en los comentarios?
