Problema de integración de Feynman

Question

$$ I = \frac{\pi^2}{8} - \int_0^1 \frac{\arctan(x)}{\sqrt{1-x^2}} \,dx $$ Evaluar $I$

$$ I = \frac{\pi^2}{8} - \int_0^1 \frac{\arctan(x)}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$$ $$f(a) = \int_0^1 \frac{\arctan(ax)}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$$ Después de diferenciar e integrar, $$ f'(a) = \frac{\ln(a+\sqrt{1+a^2})}{a\sqrt{1+a^2}} $$ La respuesta final que obtenemos es: $$ f(1) = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\ln^2(1+\sqrt{2})}{2} $$ ¿Podría alguien mostrarme cómo se hizo esto? $$$$ Also, how do we know how and where to introduce another variable (say $ n $) to perform Feynman Integration? For example, in this case, how do we know that we should rewrite $$ f(x) = \int_0^1 \frac{{arctan(x)}{{sqrt{1-x^2}} \frac, dx $$ as $$ f(x,a) = \int_0^1 \frac{{arctan(ax)}{sqrt{1-x^2} \frac,dx $$ $$$$ Por favor, ayúdenme.

Answer 1

No hay ninguna regla general en la introducción de una variable extra para aplicar el truco de diferenciación de Feynman. En este caso parece razonable considerar $\arctan(x)$ como $\arctan(ax)|_{a=1}$ porque la derivada de la arctangente es una función algebraica bastante sencilla. Por lo tanto, dejemos: $$ I(a) = \int_{0}^{1}\frac{\arctan(ax)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx. \tag{1}$$ Trivialmente tenemos $I(0)=0$ y: $$ \frac{d}{da}\,I(a) = \int_{0}^{1}\frac{x}{(1+x^2 a^2)\sqrt{1-x^2}} = \int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin\theta}{1+a^2\sin^2\theta}\,d\theta \tag{2}$$ es una integral que puede resolverse mediante la sustitución de Weierstrass: $$ \int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin\theta}{1+a^2\sin^2\theta}\,d\theta = 4\int_{0}^{1}\frac{t}{(1+t^2)^2+4a^2 t^2}\,dt =\frac{1}{a\sqrt{1+a^2}}\,\text{arctanh}\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\tag{3}$$ que conduce a: $$ \int_{0}^{1}\frac{\arctan(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{a\sqrt{1+a^2}}\,\text{arctanh}\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\,da\tag{4}$$ y sustituyendo $a$ avec $\sinh u$ nos encontramos con que: $$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}\frac{\arctan(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx &=& \int_{0}^{\text{arcsinh}(1)}\frac{u\,du}{\sinh u}\\&=&u\cdot\left.\log\tanh\frac{u}{2}\right|_{0}^{\text{arcsinh}(1)}-\int_{0}^{\text{arcsinh}(1)}\log\tanh\frac{u}{2}\,du\\&=&-\log^2(1+\sqrt{2})+\int_{0}^{\log(1+\sqrt{2})}\log\coth(u/2)\,du\tag{5}\end{eqnarray*}$$ y tenemos que comprobarlo: $$\int\log\coth u\,du = \frac{1}{2}\left(\log(\coth u)\cdot\log(1+\coth u)+\text{Li}_2(1-\coth u)+\text{Li}_2(-\coth u)\right)\tag{6}$$ y luego utilizar las ecuaciones funcionales habituales para el dilogaritmo .