Dimensión de los esquemas sobre campos

Question

En mi lectura me encontré recientemente con el siguiente problema:

Dejemos que $A$ sea un DVR y que $Y=\mathrm{Spec}\,A$ . Sea $K$ sea el campo de fracciones de $A$ y que $k$ sea el campo de residuos. Los homomorfismos canónicos $i:A \rightarrow K$ y $\pi:A \rightarrow k$ dan lugar a un homomorfismo de anillo $\phi: A \rightarrow K \times k$ dado por $a \mapsto (i(a),\pi(a))$ . Sea $X=\mathrm{Spec}(K \times k)$ y que $f:X \rightarrow Y$ sea el correspondiente morfismo de esquema. Demuestre que $K \times k$ es una entidad finitamente generada $A$ -de la álgebra, que $f$ es biyectiva, y que $\mathrm{dim}\,X=0$ y $\mathrm{dim}\,Y=1$ .

¿Cómo se puede demostrar esto? Se agradece cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Tenemos $Y=\operatorname {Spec}(A)=\{\eta,M\}$ que consiste en el ideal cero $\eta=(0)$ y el ideal máximo $M=(\pi) $ , donde $\pi$ es un uniformizador.
Por otro lado, $X=\operatorname {Spec}(K)\sqcup \operatorname {Spec}(k)=\{y\}\sqcup \{m\}$ y como el morfismo $f:X\to Y$ satisface $f(y)=\eta, f(m)=M$ , $f$ es biyectiva.
El plan $X$ tiene dimensión cero porque es discreta, y $X$ tiene dimensión $1$ ya que sus dos únicos primos están conectados por la relación de inclusión $(0) \subsetneq M$ .
Finalmente $K\times k$ está generada finitamente sobre $A$ como el producto de las álgebras finitamente generadas $K=A[\frac 1\pi]$ y $k=A/M$ .