Me olvidaré de su parámetro $s$ , ya que sólo escala $b$ . Así que los puntos son de la forma: $$ (x,t) = \left(\exp\left({\sqrt{n}e^{b}}\right),\exp\left({\sqrt{n}e^{-b}}\right)\right) $$ Si añadimos una constante $\Delta b$ a $b$ vemos que podemos escribir la transformación como $$ (x, t)\mapsto (x',t') = \left(x^{\exp(\Delta b)}, t^{\exp(-\Delta b)}\right) $$ Esta transformación mapea las curvas rojas entre sí y los puntos permanecen en las curvas verdes.
"La métrica que preserva" es simplemente que los puntos se mantienen en las curvas verdes. Estas curvas vienen dadas por $$ t=\exp\left(\frac{n}{\log x}\right) $$ Así que si $(x,t)$ satisface lo anterior para algunos $n$ entonces también $t'=\exp\left(\frac{n}{\log x'}\right)$ . Lo interesante es que $n$ es constante. Podemos resolver para $n$ : $$ n = \log x \cdot\log t $$ Esta es una cantidad conservada de la transformación. Es decir, se puede decir $\log x \log t$ es una métrica preservada de $(x,t)$ .
NOTA: He trabajado bajo el supuesto de que $x>1$ , $t>1$ . En otras regiones, es posible que tenga que ajustar los resultados.
EDIT, según la discusión en los comentarios: Que $$ (z,w) = \frac12(\log x + \log t, \log x - \log t) $$ Es decir, tomamos el registro y giramos y escalamos. Entonces $$ z^2 - w^2 = \log x\log t $$ así que $z^2-w^2$ es invariable. Con $k=e^{\Delta b}$ la transformación se convierte en: $$ (z',w') = \frac12\left((k+\tfrac1k)z + (k-\tfrac1k)w, (k-\tfrac1k)z + (k+\tfrac1k)w\right) $$ Por último, si sustituimos $1/\sqrt{1-v^2} = (k+k^{-1})/2$ obtenemos: $$ (z',w') = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\left(z - vw, w- v z\right) $$ que es la transformación de Lorentz con $c=1$ . Si queremos introducir $c$ en la transformación original, podríamos trabajar hacia atrás desde aquí.
