¿Cómo encontrar la probabilidad de una suma de recíprocos de variables aleatorias?

Question

• Las funciones de densidad de probabilidad de dos variables aleatorias independientes $X$ & $Y$ es conocido.
• Para ser más específicos $X$ & $Y$ tienen una distribución de Rayleigh y Rician respectivamente.
• Quiero encontrar la siguiente probabilidad: $P\left(\frac{XY}{X + Y + 1} < c\right)$ , donde $c$ es una constante.

Tras un ligero replanteamiento del problema, lo he planteado como $$ P\left[\left(\frac{1}{X} + \frac{1}{Y} + \frac{1}{XY}\right) > \frac{1}{c}\right] $$ ¿Puede alguien sugerir una forma sencilla de llegar a la solución final $?$ .

Answer 1

Esbozo de solución: dejar $Z:= \frac{XY}{X+Y+1}$ donde $X$ y $Y$ son independientes y tienen densidad, entonces tienes que

$$ \Pr [Z\leqslant c]=\int_{\mathbb{R}^2}\mathbf{1}_{A_c}(x,y)f_X(x)f_Y(y)\mathop{}\!d (x,y) $$

para $A_c:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:xy/(1+x+y)\leqslant c\}$ . Entonces, cuando $(1+x+y)(c-x)>0$ tenemos que $$ \frac{xy}{1+x+y}\leqslant c \iff y\geqslant c\frac{1+x}{x-c}\\ \text{ and }(1+x+y)(c-x)>0 \iff c+(c-1-y)x-x^2>0 $$ Entonces, resolviendo la última desigualdad con las raíces, podemos dividir $A_c$ en un número finito de conjuntos disjuntos con la forma $\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: y\geqslant f(x)\}$ para algunas funciones $f$ entonces podemos aplicar el teorema de Fubini fácilmente en cada uno de estos conjuntos para calcular cada integral (el conjunto donde $(1+x+y)(c-x)=0$ tienen medida de Lebesgue cero por lo que podemos ignorarlo).