La matriz del operador en el espacio de Hilbert

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert y $P$ sea el operador de proyección, entonces $H= P(H)\oplus (1-P)(H)$ . Por lo tanto, para cada $T\in B(H)$ tenemos $$T=\left(\begin{array}{ccc} PTP & PT(1-P) \\ (1-P)TP & (1-P)T(1-P) \\ \end{array}\right)$$ Espero saber por qué podemos descomponer un operador $T$ en tal forma de matriz?

Answer 1

Es sólo una forma elegante (y útil) de escribir la igualdad trivial $$ T=PTP+(I-P)TP+PT(I-P)+(I-P)T(I-P). $$ Es útil porque tanto la suma como la multiplicación se comportan como las operaciones correspondientes a las matrices, por lo que se puede tratar $T$ como $2\times2$ matriz (sin olvidar que las entradas son operadores).