Tengo curiosidad por saber cómo se construye un polinomio de variable infinita. ¿Existe una formulación agradable de tal cosa? He intentado usar funciones y funcionales para construir uno, pero eso no me ha llevado a ninguna parte. Lo necesito para encontrar una separatriz para un sistema funcional-diferencial de ecuaciones. Aprecio mucho cualquier ayuda.
Respuesta
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Pues bien, un polinomio de variable infinita sería algunos tipo de función en un espacio como $\mathbb{R}^\omega$ y presumiblemente sería una combinación lineal de los términos primitivos $\prod_i x_i^{\alpha_i}$ . Puedes preguntarte qué otras restricciones tienen sentido. Si permite términos primitivos con infinitos exponentes distintos de cero, entonces éstos no estarán definidos (es decir, el producto infinito no convergerá) en todo el espacio. Eso parece indeseable para un polinomio. Y si se permite que la combinación lineal tenga infinitos coeficientes distintos de cero, entonces (1) la suma puede no converger en todas partes, y (2) incluso si lo hace, el resultado no tiene por qué parecerse a un polinomio . (Por ejemplo, algo más de $\mathbb{R}$ , $\sum_{n=0}^{\infty}x^n/n! = e^x$ no es un polinomio). Así que tampoco podemos permitirlo. Nos queda entonces una suma finita de términos, cada uno de los cuales implica un número finito de variables... en otras palabras, un polinomio ordinario sobre un subespacio de dimensión finita del espacio original. El conjunto de estas funciones es cerrado bajo adición, multiplicación y diferenciación, así como bajo integración con respecto a una sola variable; así que esta es probablemente la formulación que estás buscando.
