Sustitución necesaria para calcular una integral

Question

¿Puedes encontrar dos funciones: $\phi:(0,\infty) \longrightarrow (0,\infty) $ , $f:(0,\infty)\longrightarrow \mathbb{R}$ con $\phi$ diferenciable, tal que $f(\phi(x))\phi'(x)=\frac{1}{x \sqrt{x^4+x^2+1}},\forall x \in \mathbb{R}$ ? Quiero calcular la integral $\int \frac{1}{x \sqrt{x^4+x^2+1}}dx$ sin utilizar una sustitución trigonométrica, de manera que la integral se reduce a $\int f(t)dt$ que espero que sea más fácil de calcular. No quiero ningún método que no tenga nada que ver con este formulario. Gracias.

Answer 1

Creo que esta pregunta es un poco extraña; uno debería usar el mejor método disponible, y resolver tal integral paso a paso acercándose a la solución. Sin embargo, en caso de que quieras la respuesta: $$ f(u)=\frac{2}{u^2-4} $$ y $$ \phi(x)=\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{1+x^2+x^4}-\sqrt{3}}{1+2x^2}, $$ pero casi me da vergüenza decirlo...

(Admito que $f$ no se define en $u=2$ pero como $\phi(x)>2$ para $x>0$ ).