Qué función hace $f(t)\sin(W(t))$ ¿una martingala?

Question

Dejemos que $W(t)$ sea un proceso de Wiener. ¿Qué función $f$ hace $f(t)\sin(W(t))$ ¿una martingala?

Me siento un poco confundido por la pregunta.

Sé que $\sin(W(t))$ tiene el diferencial

$d\sin(W(t)) = -\frac{1}{2}\sin(W(t))dt +\cos(W(t))dW(t).$

También sé que debo elegir $f$ de manera que el $dt$ término desaparece, pero no estoy seguro de cómo hacerlo. ¿Podría elegir $f(t) = 0$ ?

Answer 1

Dejemos que $F(t) = f(t)\sin W(t)$ . Por el lema de Ito,

$$dF(t) = f^\prime(t) \sin W(t) d t-\frac{1}{2} f(t) \sin W(t)dt + f(t) \cos W(t) dW(t)$$

Las martingalas tienen deriva cero, por lo que elegir cualquier función con derivada $f^\prime(t)=\frac{1}{2}f(t)$ obras. Como se observa, el establecimiento $f(t)=0$ satisface esto.

Más generalmente, cualquier función de la forma $$f(t)=Ce^{\frac{1}{2}t}$$ donde $C$ es una constante arbitraria.