Ayuda para el cálculo AP en la escuela secundaria

Question

¿Cómo resolvemos este problema?

$$ \int_{0}^{1/2}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\, dx$$

Todo lo que sé es que tengo que conseguir que la parte inferior sea igual $\sin^{-1} x$ .

Answer 1

Si $u = 1 - x^2$ entonces $du = -2x dx \iff \frac{1}{2}du = x dx$ . Podemos dejar de lado los límites de integración por un momento y reescribir la integral como

$$-\frac{1}{2}\int \frac{du}{\sqrt u} = -\frac{1}{2}\int u^{-1/2} du$$

Esta integral probablemente parece algo que sabes manejar. Así que - encuentra la antiderivada y sustituye $1 - x^2$ de nuevo en donde sea que veas $u$ . A continuación, puedes introducir tus límites de integración originales para obtener la respuesta.

¿Qué obtienes?

Answer 2

Una pista: $$ \int_0^{1/2} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\Big( x\,dx \Big). $$ Esto debería indicarle qué sustitución debe utilizar. Si no entiendes este tipo de pista, entonces eso es lo principal que necesitas aprender sobre la integración por sustitución.