Topología de conjuntos cerrados en productos de espacios

Question

Me he atascado en la pregunta 3.7.1 de la introducción a la Topología de Bert Mendelson.

Demostrar que un subconjunto $F$ de $X = \prod_{i=1}^nX_i$ es cerrado si y sólo si F es una intersección de conjuntos, cada uno de los cuales es una unión finita de conjuntos de la forma $F_1 \times F_2 \times ... \times F_n$ donde cada $F_i$ es un subconjunto cerrado de $X_i$ . Formule el enunciado correspondiente en un producto arbitrario de espacios topológicos.

Empecé con 'F es una intersección ... subconjunto cerrado de $X_i$ ' y trató de demostrar que F debe ser entonces cerrado. Ahora por esta presuposición podemos escribir $F$ como $F = \bigcap_{\alpha \in I} \bigcup_{i=1}^m C_{1\alpha i } \times C_{2\alpha i } \times ...\times C_{n\alpha i } $ . Como tenemos que demostrar que el complemento de F es abierto, intenté tomar el complemento de F.

De esta manera casi llego a la primera implicación deseada; utilizando las reglas de DeMorgan obtengo

$F = \bigcup_{\alpha \in I} \bigcap_{i=1}^m (C_{1\alpha i } \times C_{2\alpha i } \times ...\times C_{n\alpha i })^C $ . Ahora sospecho que $C_{1\alpha i } \times C_{2\alpha i } \times ...\times C_{n\alpha i }$ es un subconjunto cerrado de $X$ para cada $\alpha,i$ de lo que se deduce que $F$ es abierto por la definición de la topología de un producto de espacios. Sin embargo, no sé cómo demostrarlo; este no es cierto en general.

¿Alguien sabe cómo probar esto? ¿O hay algo mal en mi planteamiento? Después de entender la primera implicación espero poder hacer la inversa yo mismo.

Por favor, indíqueme si hay partes de mi pregunta o de la notación que no están claras. Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

En cualquier espacio de producto $\prod_{i\in I} X_i$ todos los conjuntos abiertos son uniones de (intersecciones finitas de "conjuntos abiertos elementales"), donde un "conjunto abierto elemental" es de la forma $p_j^{-1}[O]$ donde $j \in I$ y $p_i: \prod_{i\in I} X_i \to X_j$ es la proyección sobre el $j$ -el cuarto espacio $X_j$ y $O$ está abierto en $X_j$ . Podemos verlas como $$p_j^{-1}[O] = \prod_{i\in I} O_i$$ donde $O_i =X_i$ para todos $i \neq j$ y $O_j =O$ a veces se denota (por abuso de notación ) como $$\prod_{i\neq j} X_i \times O$$

El complemento de un conjunto abierto elemental lo llamaré conjunto cerrado elemental, por lo que éste es de forma similar con un conjunto cerrado en el $j$ - en una coordenada:

$$p_j^{-1}[O]^{\complement} = p_j^{-1}[X\setminus O] = \prod_{i\in I} F_i \text{ with } F_i = X_i \text{ for } i \neq j \text{ and } F_j=X\setminus O =\\ \prod_{i \neq j} X_i \times F \text{ where } F = X\setminus O \text{ is closed}$$

Por De Morgan tenemos entonces que todo conjunto cerrado es la intersección de (uniones finitas de "conjuntos cerrados elementales"), que es la forma que buscas.