¿Podemos resolver para $a$ en $b(x) =\int_{-\infty}^\infty b(s)a(x,s)ds$

Question

Para todos $x \in \mathbb{R}$ , $$b(x) =\int_{-\infty}^\infty b(s)a(x,s)ds.$$ Si ayuda, podemos suponer que $a, b$ son continuas, no negativas y $\int_{-\infty}^\infty$ de $a$ o $b$ son ambos acotados.

Dos preguntas: (1) ¿Es $a$ único? y (2) ¿hasta qué punto podemos resolver $a$ ?

Answer 1

La solución para su ecuación integral es la función Delta de Dirac, es decir $$a(x,s) = \delta(s-x).$$ Se conoce como la propiedad de cribado de la función delta de dirac.

Answer 2

La singularidad no está necesariamente garantizada. Por ejemplo, cuando es definible, toma $a(x,s)=\frac{b(x)}{b(s)}f(s)$ donde $f$ es cualquier densidad de probabilidad, es decir $\int_{-\infty}^\infty f(s) ds=1$ .