La siguiente pregunta se planteó en un concurso de selección nacional:
Encuentra el mayor número de la siguiente secuencia:
$\frac{1}{503}$ , $\frac{4}{524}$ , $\frac{9}{581}$ , $\frac{16}{692}$ ...
Tardé mucho tiempo en poder resolver esta cuestión, ya que no pude identificar el motivo que aparece en la secuencia anterior.
Después me di cuenta de que el motivo se expresa mediante la función $f(x)=\frac{x^2}{500+3x^3}$ .
Una vez que me di cuenta de eso entonces, resolví la pregunta de la siguiente manera:
Como $f(x)=\frac{x^2}{500+3x^3}$ entonces $f'(x)=\frac{2x(500+3x^3)-x^2*9x^2}{(500+3x^3)^2}$
$f'(x)=\frac{1000x-3x^4}{(500+3x^3)^2}$
$f'(x)=\frac{x(1000-3x^3)}{(500+3x^3)^2}$
Así que todo lo que tenemos que hacer ahora es encontrar su máximo. $f'(x)=0$ , para $x=\frac{10}{\sqrt[3]{3}}$ y $x=0$ una vez que analizamos la función encontramos que para $x=\frac{10}{\sqrt[3]{3}}$ tenemos el valor máximo de la función. Sin embargo, como se trata de un número no integral, comprobamos $x=6$ y $x=7$ que son los dos enteros más cercanos a $x=\frac{10}{\sqrt[3]{3}}$ .
Tenemos que $f(7)>f(6)$ y por lo tanto su máximo se alcanza para $x=7$ y $f(x)=\frac{49}{1529}$
Mi pregunta es cómo reconocer este motivo, ya que ese era mi mayor obstáculo para esta pregunta.
