Serie Laurent de $(z^2 + 3z + 2)e^{\frac{1}{z+1}}$

Question

Quiero encontrar la serie Laurent de $(z^2 + 3z + 2)e^{\frac{1}{z+1}}$ alrededor de $z_0 = -1$ . Sin embargo, como no se trata de una fracción de la forma $\frac{a}{z-b}$ No estoy seguro de cómo calcularlo.

Answer 1

Tenga en cuenta que en $\mathbb{C} \backslash \{ -1 \} $ $$ e^{\frac{1}{z+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n! (z+1)^n} $$ Entonces \begin{align*} (z^2+3z+2)e^{\frac{1}{z+1}} & =\left[(z+1)^2+(z+1)\right] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n! (z+1)^n} \\ & =\left[(z+1)^2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n! (z+1)^n} \right] + \left[(z+1)\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n! (z+1)^n}\right] \\ & = \left[(z+1)^2 + (z+1) + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+2)!(z+1)^n} \right] + \left[(z+1) + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)!(z+1)^n}\right] \\ & = 2(z+1)+(z+1)^2 + \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}\right)\frac{1}{(z+1)^n} \\ & = 2(z+1)+(z+1)^2 + \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{n+3}{(n+2)!}\right)\frac{1}{(z+1)^n} \end{align*}

Answer 2

Configurar $\xi=z+1$ es decir $z=\xi-1$ tenemos \begin{eqnarray} (z^2+3z+2)e^\frac{1}{z+1}&=&[(\xi-1)^2+3(\xi-1)+2]e^\frac1\xi=[(\xi^2-2\xi+1)+(3\xi-3)+2]e^\frac1\xi\\ &=&(\xi^2+\xi)e^\frac1\xi=(\xi^2+\xi)\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!\xi^n}=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{n!\xi^{n-2}}+\frac{1}{n!\xi^{n-1}}\right)\\ &=&\sum_{n=-2}^\infty\frac{1}{(n+2)!\xi^n}+\sum_{n=-1}^\infty\frac{1}{(n+1)!\xi^n}=2\xi+\xi^2+\sum_{n=0}^\infty\frac{n+3}{(n+2)!\xi^n}\\ &=&2(z-1)+(z-1)^2+\sum_{n=0}^\infty\frac{n+3}{(n+2)!(z-1)^n}. \end{eqnarray}