Prueba de la fórmula binomial para extraer los coeficientes de una función generadora

Question

Una función generadora termina reordenada en una forma:

\begin{align} (1+x+x^2+\dotsb)^n&=\frac{1}{(1-x)^n}\\[6px] &= 1+\binom{1+n-1}{1}x+\binom{2+n-1}{2}x^2+\binom{3+n-1}{3}x^3\\ &\phantom{=\;1}+\dots+\binom{r+n-1}{r}x^r+\dotsb \end{align}

utilizado para extraer los coeficientes.

No encuentro una prueba (alguna construcción parecida al triángulo de Pascal, por ejemplo) de que estos coeficientes funcionen para todos los casos.

Probablemente, es sólo una cuestión de saber el término a incluir en la búsqueda en línea, y si este es el caso, estaré encantado de eliminar la pregunta.

Answer 1

Para $n=1$ es sólo una serie geométrica:

$$\frac1{1-x}=\sum_{n\ge 0}x^n\;.$$

Supongamos ahora que

$$\frac1{(1-x)^n}=\sum_{k\ge 0}\binom{n-1+k}kx^k\;.$$

Entonces

$$\begin{align*} \frac1{(1-x)^{n+1}}&=\frac1{(1-x)^n}\cdot\frac1{1-x}\\ &=\left(\sum_{k\ge 0}\binom{n-1+k}kx^k\right)\left(\sum_{k\ge 0}x^k\right)\\ &\overset{(1)}=\sum_{k\ge 0}\left(\sum_{j=0}^k\binom{n-1+j}j\right)x^k\\ &=\sum_{k\ge 0}\left(\sum_{j=0}^k\binom{n-1+j}{n-1}\right)x^k\\ &\overset{(2)}=\sum_{k\ge 0}\binom{n+k}nx^k\\ &=\sum_{k\ge 0}\binom{n+k}kx^k\;, \end{align*}$$

como se desee. Aquí $(1)$ es sólo un Producto de Cauchy y $(2)$ es una forma del identidad del palo de hockey .

Answer 2

La afirmación es obviamente cierta para $n=1$ ; supongo que es para $n$ entonces podemos ver que \begin{align} (1+x+\dotsb)^{n+1}=\frac{1}{n}D\frac{1}{(1-x)^n}= \frac{1}{n}\sum_{k\ge1}k\binom{k+n-1}{k}x^{k-1}= \sum_{k\ge0}\frac{k+1}{n}\binom{k+n}{k+1}x^k \end{align} y sólo es cuestión de probar que $$ \frac{k+1}{n}\binom{k+n}{k+1}=\binom{k+n}{k} $$ Sí, es cierto, $$ \frac{k+1}{n}\binom{k+n}{k+1}= \frac{k+1}{n}\frac{(k+n)(k+n-1)\dotsm(k+n-(k+1)+1)}{(k+1)!}= \binom{k+n}{k} $$

Answer 3

O, si escribes $\dfrac1{(1-x)^n} =(1-x)^{-n} $ , se puede utilizar la serie binomial generalizada $(1+x)^a =\sum_{n=0}^{\infty} \binom{a}{n} x^n $ donde, para cualquier real (o complejo) $a$ , $\binom{a}{n} =\dfrac{\prod_{k=0}^{n-1}(a-k)}{n!} $ . Esto converge siempre que $|x| < 1$ .

Tenga en cuenta que, si $m$ es un número entero positivo,

$\begin{array}\\ \binom{-m}{n} &=\dfrac{\prod_{k=0}^{n-1}(-m-k)}{n!}\\ &=(-1)^n\dfrac{\prod_{k=0}^{n-1}(m+k)}{n!}\\ &=(-1)^n\dfrac{\prod_{k=0}^{n-1}(m+(n-1-k))}{n!}\\ &=(-1)^n\dfrac{\prod_{k=0}^{n-1}(m+n-1-k)}{n!}\\ &=(-1)^n \binom{m+n-1}{n}\\ &=(-1)^n \binom{m+n-1}{m-1}\\ \text{so that}\\ (1-x)^{-m} &=\sum_{n=0}^{\infty} \binom{-m}{n} (-x)^n\\ &=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \binom{m+n-1}{m-1} (-1)^n x^n\\ &=\sum_{n=0}^{\infty} \binom{m+n-1}{m-1} x^n\\ \end{array} $