3 Rotaciones al vector unitario (3D)

Question

Llevo tiempo intentando resolver este problema, pero me vendría muy bien un poco de ayuda:

Tengo 3 rotaciones (una por eje) para un objeto, y quiero crear un vector unitario que me diga en qué dirección apunta el objeto.

¿Cómo puedo conseguirlo?

Answer 1

Supongamos que tenemos un sistema de coordenadas, donde por ejemplo $\mathtt e_x = \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix}$ apunta a la derecha, $\mathtt e_y = \begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix}$ señala hacia abajo y $\mathtt e_z = \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}$ apunta hacia adelante.

En primer lugar, supongamos que el objeto de interés está alineado con el mundo. Así, la transformación (= $3\times 3$ ) que mapea los puntos del marco de referencia del "objeto" al marco de referencia del mundo es la identidad:

$$\mathtt R_{wo} = \mathtt I.$$

Ahora, giramos el objeto alrededor del $x$ -eje por $\theta_x$ entonces el $y$ -eje por $\theta_y$ y finalmente el $z$ -eje por $\theta_z$ :

$$\mathbf R_{wo'} = \mathbf R_{wo} \exp(\theta_x\mathbf G_x)\exp(\theta_y\mathbf G_y)\exp(\theta_z\mathbf G_z)$$ $$= \exp(\theta_x\mathbf G_x)\exp(\theta_y\mathbf G_y)\exp(\theta_z\mathbf G_z)$$

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Excurso: ¿Qué es $\exp(\theta_i\mathbf G_i)$ ?

En general, $\exp$ es la matriz exponencial y $\mathbf G_x=\begin{bmatrix}0 & 0& 0\\0 & 0& -1\\0 & 1& 0\end{bmatrix}$ , $\mathbf G_y=\begin{bmatrix}0 & 0& 1\\0 & 0& 0\\-1 & 0& 0\end{bmatrix}$ , $\mathbf G_z=\begin{bmatrix}0 & -1& 0\\1 & 0& 0\\0 & 0& 0\end{bmatrix}$ son los generadores del álgebra de Lie so(3).

Para so(3), la exponencial de la matriz puede calcularse mediante la fórmula de Rodrigues: $$ \exp (\theta_i \mathbf G_i) = \mathtt I + \mathtt G_i\sin(\theta_i) + \mathtt G_i^2(1-\cos(\theta_i)) $$

Por ejemplo: $\exp(\theta_x\cdot \mathtt G_x) = \mathtt I +\begin{bmatrix}0 & 0& 0\\0 & 0& -1\\0 & 1& 0\end{bmatrix}\sin(\theta_x) + \begin{bmatrix}0 & 0& 0\\0 & -1& 0\\0 & 0& -1\end{bmatrix}(1-\cos(\theta_x)) $

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\begin{bmatrix}1 & 0& 0\\0 & \cos(\theta_x)& -\sin(\theta_x)\\0 & \sin(\theta_x)& \cos(\theta_x)\end{bmatrix}$

(Nótese que las rotaciones no se conmutan, por lo que el orden de aplicación de las rotaciones importa. En otras palabras: $\exp(\theta_x\mathbf G_x)\exp(\theta_y\mathbf G_y)\neq\exp(\theta_y\mathbf G_y)\exp(\theta_x\mathbf G_x)$ )

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Para transformar un punto en el marco del objeto $\mathbf x_{o'}$ al punto correspondiente en el marco mundial $\mathbf x_w$ que hacemos: $\mathbf x_w = \mathtt R_{wo'}\mathbf x_{o'}$ .

Así, por ejemplo, podemos transformar la dirección de avance en el marco de coordenadas del objeto $\mathbf e_z$ a la dirección de avance $\mathbf x_{\text{forward}}$ en coordenadas mundiales:

$$\mathbf x_{\text{forward}} = \mathtt R_{wo'}\mathbf e_{z}$$

Answer 2

Si el objeto apunta hacia el $\hat{k}$ dirección antes de la rotación, entonces está apuntando hacia

$$ \hat{k}_{world} = {\rm R_1 R_2 R_3} \hat{k} $$

donde $\rm R_i$ i=1..3 son las tres rotaciones.