Estructura de las unidades en un orden máximo

Question

Hola,

mi pregunta es simple: ¿tenemos un "teorema de la unidad de Dirichlet" para el grupo de unidades de un orden máximo de un álgebra de división central?

En otras palabras: que $k$ sea un campo numérico, y que $D$ ser una división central $k$ -(es decir, un campo sesgado con centro $k$ ), y que $\Lambda$ sea un orden máximo sobre $\mathcal{O}_k$ .

Es $\Lambda^\times$ un grupo generado finitamente? ¿qué se sabe de su estructura de grupo?

He navegado por la web y he mirado las "órdenes máximas" de Reiner, pero no he encontrado nada.

Estoy feliz de asumir que $D$ satisface la condición de Eichler si es necesario.

De hecho, mi pregunta original es aún más precisa: $k/\mathbb{Q}$ es cuadrática imaginaria, $D$ lleva una involución unitaria $\tau$ (que por lo tanto se restringe a la conjugación compleja en $k$ ), y me interesa la estructura de las unidades UNITARIAS en un orden máximo $\Lambda$ .

Si alguien conoce algún resultado/referencia, me encantaría conocerlo.

Gracias de antemano.

Greg

Answer 1

¡Hola Greg!

No soy un especialista en el tema (y puede que haya entendido algo mal), pero he buscado sobre este tema hace tiempo así que aquí están mis impresiones.

Creo que la respuesta a la primera pregunta general es negativa (al menos en sentido fuerte). El teorema de Dirichlet describe el grupo unitario algebraicamente casi por completo en términos de firma. En la mayoría de los casos (y en particular en el caso que te interesa) el grupo unitario de un orden máximo de un álgebra de división es un objeto muy complicado y hasta donde yo sé no hay ningún teorema general que dé una buena idea de la estructura algebraica de este grupo.

Un ejemplo de problemas que se encuentran en las álgebras de división: "Presentaciones del grupo unidad de un orden en un algebra de cuaterniones no dividida" Capi Corrales,a, Eric Jespers, Guilherme Leal y Angel del Riod, Advances in Mathematics 186 (2004) 498-524.

Probablemente las mejores fuentes generales sobre el tema sean el libro de Ernst Kleinert (Units in skew fields) y un artículo de estudio (Units of classical orders, Enseigment mathematique, 1994). Uno de sus temas centrales es la consideración de cómo debería ser un análogo del teorema de la unidad de Dirichlet en un álgebra de división. Así que estas referencias son probablemente una buena respuesta a tu pregunta general.

Mientras que el lado algebraico del teorema de Dirichlet parece ser bastante difícil de generalizar, también está el lado geométrico, que describe lo "denso" que es el grupo unitario geométricamente si consideramos el anillo de enteros algebraicos como una red a través de la incrustación habitual de Minkowski.

En el caso que te interesa el grupo unidad tiene un subgrupo de índice finito (el grupo norma 1), que es un subgrupo cocompacto en $SL_n(C)$ . La "densidad" de este grupo de norma 1 se decide por invariantes algebraicos del álgebra de división. Así que en este sentido podemos generalizar el lado geométrico del teorema de Dirichlet. Aquí la palabra clave es el recuento de puntos en los grupos de Lie. Hay un libro reciente sobre el tema: The Ergodic Theory of Lattice Subgroups, A. Gorodnik y A. Nevo, Princeton University Press, 2010.

Si lo que te interesa es, por ejemplo, el número de unidades unitarias (si he entendido bien lo que preguntas es, efectivamente, un número finito) no creo que este enfoque ayude mucho. En realidad, incluso el teorema de Dirichlet original no dice directamente mucho sobre la parte de las raíces de la unidad, excepto que existe y es generada por un solo elemento.